A probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente de uma população apresentar problemas circulatórios é de
. Uma amostra aleatória de 10 indivíduos é retirada da população. Qual a probabilidade de haver pelo menos dois indivíduos com problemas circulatórios na amostra?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre probabilidade. A pergunta é: qual a chance de, em uma amostra de 10 pessoas, pelo menos 2 terem problemas circulatórios, sabendo que cada pessoa tem 25% de chance de ter esse problema. Para resolver, vamos usar conceitos de Distribuição Binomial, que ajuda a calcular probabilidades em situações com sucessos e fracassos, como aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (no nosso caso, 10 pessoas), cada uma com duas possibilidades de resultado: sucesso (a pessoa tem problemas circulatórios) ou fracasso (não tem). A distribuição nos permite calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número de tentativas (10 pessoas),
- $ k $ é o número de sucessos desejados,
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (25% ou 0,25),
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter k sucessos em n tentativas.
Passo 3
A questão pede a probabilidade de pelo menos dois indivíduos terem problemas circulatórios. Isso significa que queremos:
Então, vamos calcular $ P(X = 0) $ e $ P(X = 1) $ e subtrair essas probabilidades de 1 para encontrar a resposta.
Passo 4
Calculando $ P(X = 0) $:
Agora, calculando $ (0,75)^{10} $:
Então,
Passo 5
Agora, calculando $ P(X = 1) $:
Calculando $ (0,75)^9 $:
Então,
Passo 6
Agora, somamos as probabilidades de $ X = 0 $ e $ X = 1 $:
Passo 7
Finalmente, calculamos $ P(X \geq 2) $:
Isso significa que há aproximadamente 75,6% de chance de, em uma amostra de 10 pessoas, pelo menos duas tenham problemas circulatórios.
Resposta
A probabilidade de haver pelo menos dois indivíduos com problemas circulatórios na amostra é de aproximadamente 75,6%.