A probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente de uma população apresentar problemas circulatórios é de 25 %. Uma amostra aleatória de 10 indivíduos é retirada da população. Qual a probabilidade de haver pelo menos dois indivíduos com problemas circulatórios na amostra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre probabilidade. A pergunta é: qual a chance de, em uma amostra de 10 pessoas, pelo menos 2 terem problemas circulatórios, sabendo que cada pessoa tem 25% de chance de ter esse problema. Para resolver, vamos usar conceitos de Distribuição Binomial, que ajuda a calcular probabilidades em situações com sucessos e fracassos, como aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (no nosso caso, 10 pessoas), cada uma com duas possibilidades de resultado: sucesso (a pessoa tem problemas circulatórios) ou fracasso (não tem). A distribuição nos permite calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas (10 pessoas),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados,
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (25% ou 0,25),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter k sucessos em n tentativas.

Passo 3

A questão pede a probabilidade de pelo menos dois indivíduos terem problemas circulatórios. Isso significa que queremos:
P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
Então, vamos calcular $ P(X = 0) $ e $ P(X = 1) $ e subtrair essas probabilidades de 1 para encontrar a resposta.

Passo 4

Calculando $ P(X = 0) $:
P(X = 0)
Agora, calculando $ (0,75)^{10} $:
P(X = 0) = binom100 (0,25)^0 (0,75)^10 = 1 times 1 times (0,75)^10
Então,
(0,75)^10

Passo 5

Agora, calculando $ P(X = 1) $:
P(X = 1)
Calculando $ (0,75)^9 $:
P(X = 1) = binom101 (0,25)^1 (0,75)^9 = 10 times 0,25 times (0,75)^9
Então,
(0,75)^9

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades de $ X = 0 $ e $ X = 1 $:
X = 0

Passo 7

Finalmente, calculamos $ P(X \geq 2) $:
P(X >= 2)
Isso significa que há aproximadamente 75,6% de chance de, em uma amostra de 10 pessoas, pelo menos duas tenham problemas circulatórios.

Resposta

A probabilidade de haver pelo menos dois indivíduos com problemas circulatórios na amostra é de aproximadamente 75,6%.

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