Deseja-se estudar a presença de dois fatores genéticos A e B em pacientes com uma certa patologia. Sabe-se por estudos médicos que pacientes com esta patologia apresentam o fator genético A com probabilidade de 60% e os dois fatores A e B com probabilidade de 18%. Sabe-se também que os dois fatores são independentes. Sob estas condições, calcule
(b) a probabilidade de um paciente com a dada patologia apresentar exatamente um dos fatores.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos dois fatores genéticos, $ A $ e $ B $, presentes em pacientes com uma certa patologia. A probabilidade de um paciente ter o fator $ A $ é 60% ($ P(A) = 0,6 $), e a probabilidade de ter ambos os fatores $ A $ e $ B $ juntos é 18% ($ P(A \cap B) = 0,18 $). Além disso, sabemos que os fatores $ A $ e $ B $ são independentes. Precisamos calcular a probabilidade de um paciente ter exatamente um dos fatores, ou seja, apenas $ A $ ou apenas $ B $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando dois eventos são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem juntos é o produto das probabilidades individuais. Isso é representado por:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Já sabemos que $ P(A \cap B) = 0,18 $ e $ P(A) = 0,6 $. Podemos usar essa relação para encontrar $ P(B) $.

Passo 3

Vamos encontrar $ P(B) $ usando a fórmula da independência:
P(B)
Então, a probabilidade de um paciente ter o fator $ B $ é 30%.

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de um paciente ter exatamente um dos fatores. Isso significa que ou ele tem apenas o fator $ A $ ou apenas o fator $ B $. Vamos calcular essas probabilidades separadamente.
Primeiro, a probabilidade de ter apenas $ A $:
A
Em seguida, a probabilidade de ter apenas $ B $:
B

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de ter exatamente um dos fatores, somamos as duas probabilidades que calculamos:
P(exatamente um fator) = P(A setminus B) + P(B setminus A) = 0,42 + 0,12 = 0,54

Resposta

A probabilidade de um paciente apresentar exatamente um dos fatores genéticos é de 54%.

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