Uma amostra de 12 cabos de aço apresentou as seguintes resistências, em kg:
148 | 141 | 152 | 159 | 158 | 167 | 157 | 143 | 158 | 150 | 144 | 166 |
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Construa um intervalo de
de confiança para a média da população.
Passo 1
Então, temos um exercício de estatística onde precisamos construir um intervalo de confiança de 98% para a média da população de resistências de cabos de aço. A gente vai usar conceitos de média amostral, desvio padrão e distribuição t para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Passo 3
Vamos somar todos esses números:
Agora, dividimos pela quantidade de cabos, que é 12:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos mostra o quanto os valores variam em relação à média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
Vamos calcular cada
:
Somando todos esses valores:
Agora, calculamos o desvio padrão:
Passo 5
Agora que temos a média amostral e o desvio padrão, vamos construir o intervalo de confiança. Como a amostra é pequena (n < 30) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t.
A fórmula do intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média amostral -
é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado e graus de liberdade -
é o desvio padrão amostral -
é o tamanho da amostra
Passo 6
Para um intervalo de confiança de 98%,
, então
. Com
graus de liberdade, consultamos a tabela t e encontramos
.
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos
Então:
Resposta
O intervalo de confiança de 98% para a média da população é aproximadamente de 145.69 kg a 159.65 kg.