Uma amostra de 12 cabos de aço apresentou as seguintes resistências, em kg:
148 141 152 159 158 167 157 143 158 150 144 166
Construa um intervalo de 98 % de confiança para a média da população.

Passo 1

Então, temos um exercício de estatística onde precisamos construir um intervalo de confiança de 98% para a média da população de resistências de cabos de aço. A gente vai usar conceitos de média amostral, desvio padrão e distribuição t para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 148 + 141 + 152 + 159 + 158 + 167 + 157 + 143 + 158 + 150 + 144 + 16612

Passo 3

Vamos somar todos esses números:
148 + 141 + 152 + 159 + 158 + 167 + 157 + 143 + 158 + 150 + 144 + 166 = 1832
Agora, dividimos pela quantidade de cabos, que é 12:
barx = 183212 approx 152.67 kg

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos mostra o quanto os valores variam em relação à média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
(148 - 152.67)^2 & = 21.78 (141 - 152.67)^2 & = 136.89 (152 - 152.67)^2 & = 0.45 (159 - 152.67)^2 & = 40.29 (158 - 152.67)^2 & = 28.45 (167 - 152.67)^2 & = 208.89 (157 - 152.67)^2 & = 18.78 (143 - 152.67)^2 & = 93.45 (158 - 152.67)^2 & = 28.45 (150 - 152.67)^2 & = 7.13 (144 - 152.67)^2 & = 75.11 (166 - 152.67)^2 & = 178.35
Somando todos esses valores:
sum (xi - barx)^2 = 21.78 + 136.89 + 0.45 + 40.29 + 28.45 + 208.89 + 18.78 + 93.45 + 28.45 + 7.13 + 75.11 + 178.35 = 872.32
Agora, calculamos o desvio padrão:
s = raiz872.3212 - 1 = raiz872.3211 approx raiz79.3 approx 8.9 kg

Passo 5

Agora que temos a média amostral e o desvio padrão, vamos construir o intervalo de confiança. Como a amostra é pequena (n < 30) e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t.
A fórmula do intervalo de confiança é:
barx pm talpha/2, , n-1 cdot sraizn
Onde:
  • barx é a média amostral
  • talpha/2, , n-1 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado e graus de liberdade
  • s é o desvio padrão amostral
  • n é o tamanho da amostra

Passo 6

Para um intervalo de confiança de 98%, alpha = 1 - 0.98 = 0.02, então alpha/2 = 0.01. Com n-1 = 11 graus de liberdade, consultamos a tabela t e encontramos t0.01, , 11 approx 2.718.

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula:
152.67 pm 2.718 cdot 8.9raiz12
Primeiro, calculamos 8.9raiz12 approx 8.93.464 approx 2.575
Então:
152.67 pm 2.718 cdot 2.575 approx 152.67 pm 6.983

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a média da população é aproximadamente de 145.69 kg a 159.65 kg.

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