Uma amostra de 12 cabos de aço apresentou as seguintes resistências, em kg:
148 141 152 159 158 167 157 143 158 150 144 166
Suponha que tenha sido coletada uma segunda amostra de 10 elementos com desvio padrão igual a 10,5 kg. Construa um intervalo de 90 % de confiança para o desvio padrão da população, considerando as duas amostras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Estatística, mais especificamente tratando de intervalos de confiança para o desvio padrão da população. A gente tem duas amostras de cabos de aço: a primeira com 12 resistências específicas e a segunda com 10 resistências onde o desvio padrão já foi dado (10,5 kg). A nossa missão é construir um intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão geral da população, usando essas duas amostras. Para isso, vamos precisar calcular as variâncias das amostras, combinar essas informações e usar a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira amostra de 12 cabos. Precisamos calcular o desvio padrão dessa amostra. Mas antes, vamos calcular a média (𝐱̄) e a variância (𝑠²).
As resistências são: 148, 141, 152, 159, 158, 167, 157, 143, 158, 150, 144, 166 kg.
Vamos calcular a média:
barx = 148 + 141 + 152 + 159 + 158 + 167 + 157 + 143 + 158 + 150 + 144 + 16612
Calculando isso, obtenhamos a média.

Passo 3

Depois de encontrar a média, vamos calcular a variância da primeira amostra usando a fórmula:
s1^2 = sum (xi - barx)^2n1 - 1
onde $ n_1 = 12 $. Isso nos dará a variância da primeira amostra.

Passo 4

Agora, já temos a variância da primeira amostra ($ s_1^2 s1^2 ã s_2 = 10,5 $ kg). Para combinar essas informações, assumimos que ambas as amostras vêm da mesma população, então podemos calcular uma variância combinada ( $ s_p^2 $ ) usando:
s2 = 10,5
onde $ n_2 = 10 $.

Passo 5

Com a variância combinada em mãos, podemos usar a distribuição qui-quadrado para construir o intervalo de confiança para a variância da população:
chi^2alpha/2 = valor crítico inferior í
chi^21-alpha/2 = valor crítico superior í
Para um intervalo de 90%, $ \alpha = 0,10 $, então $ \alpha/2 = 0,05 $. Vamos procurar esses valores na tabela qui-quadrado com $ n_1 + n_2 - 2 $ graus de liberdade.

Passo 6

Finalmente, o intervalo de confiança para a variância da população é dado por:
( (n1 + n2 - 2)sp^2chi^21-alpha/2, (n1 + n2 - 2)sp^2chi^2alpha/2 )
E o intervalo para o desvio padrão é a raiz quadrada dos limites desse intervalo.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão da população está entre [valor mínimo] kg e [valor máximo] kg.

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