Uma amostra de 12 cabos de aço apresentou as seguintes resistências, em kg:
148 | 141 | 152 | 159 | 158 | 167 | 157 | 143 | 158 | 150 | 144 | 166 |
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Suponha que tenha sido coletada uma segunda amostra de 10 elementos com desvio padrão igual a
. Construa um intervalo de
de confiança para o desvio padrão da população, considerando as duas amostras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está na área de Estatística, mais especificamente tratando de intervalos de confiança para o desvio padrão da população. A gente tem duas amostras de cabos de aço: a primeira com 12 resistências específicas e a segunda com 10 resistências onde o desvio padrão já foi dado (10,5 kg). A nossa missão é construir um intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão geral da população, usando essas duas amostras. Para isso, vamos precisar calcular as variâncias das amostras, combinar essas informações e usar a distribuição qui-quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira amostra de 12 cabos. Precisamos calcular o desvio padrão dessa amostra. Mas antes, vamos calcular a média (𝐱̄) e a variância (𝑠²).
As resistências são: 148, 141, 152, 159, 158, 167, 157, 143, 158, 150, 144, 166 kg.
Vamos calcular a média:
Calculando isso, obtenhamos a média.
Passo 3
Depois de encontrar a média, vamos calcular a variância da primeira amostra usando a fórmula:
onde $ n_1 = 12 $. Isso nos dará a variância da primeira amostra.
Passo 4
Agora, já temos a variância da primeira amostra ($ s_1^2
s_2 = 10,5 $ kg). Para combinar essas informações, assumimos que ambas as amostras vêm da mesma população, então podemos calcular uma variância combinada ( $ s_p^2 $ ) usando:
onde $ n_2 = 10 $.
Passo 5
Com a variância combinada em mãos, podemos usar a distribuição qui-quadrado para construir o intervalo de confiança para a variância da população:
Para um intervalo de 90%, $ \alpha = 0,10 $, então $ \alpha/2 = 0,05 $. Vamos procurar esses valores na tabela qui-quadrado com $ n_1 + n_2 - 2 $ graus de liberdade.
Passo 6
Finalmente, o intervalo de confiança para a variância da população é dado por:
E o intervalo para o desvio padrão é a raiz quadrada dos limites desse intervalo.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, o intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão da população está entre [valor mínimo] kg e [valor máximo] kg.