Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos. Ele deseja testar essa hipótese ao nível de de significância. Para tal, entrevistou 10 pessoas e questionou quanto tempo elas demoraram para serem atendidas. Os dados obtidos são os que seguem (em minutos):
19
18
22
23
21
19
24
19
25
20
Considere agora que o desvio-padrão da população é igual a 3 min . Para qual valor da média a probabilidade de erroneamente julgar que o tempo médio de espera para atendimento não é superior a 20 minutos é de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um empresário que acha que o tempo médio de espera para atender os clientes é maior que 20 minutos. Ele quer testar essa ideia com um nível de significância de 5%. Para isso, ele entrevistou 10 pessoas e registrou os tempos de espera: 19, 18, 22, 23, 21, 19, 24, 19, 25 e 20 minutos. Agora, sabendo que o desvio-padrão da população é de 3 minutos, ele quer descobrir qual é o valor da média verdadeira que faz com que haja 10% de chance de errar e concluir que o tempo médio não é superior a 20 minutos.
Vamos precisar usar o teste de hipóteses para a média quando o desvio-padrão é conhecido, ou seja, o teste z. Vamos calcular os valores necessários passo a passo para encontrar essa média.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses:
Hipótese nula (H₀): O tempo médio de espera é igual ou menor que 20 minutos. Matematicamente, H₀: μ ≤ 20.
Hipótese alternativa (H₁): O tempo médio de espera é maior que 20 minutos. H₁: μ > 20.
Como queremos saber a média verdadeira que nos dá 10% de chance de errar ao aceitar H₀ quando H₁ é verdadeira, estamos falando do erro do tipo II (β). Queremos encontrar μ tal que β = 0,10.
Passo 3
Vamos usar a fórmula do erro do tipo II para o teste z:
Onde:
X é a média amostral.
zalpha é o valor crítico z para o nível de significância α.
sigma é o desvio-padrão da população.
n é o tamanho da amostra.
mu0 é a média sob H₀.
mu1 é a média verdadeira que queremos encontrar.
Nosso objetivo é encontrar mu1 tal que β = 0,10.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar o valor crítico z para o nível de significância de 5% (α = 0,05) em um teste unilateral (como H₁: μ > 20).
Usando a tabela z ou uma calculadora, encontramos que:
zalpha = z0,05 = 1,645
Isso significa que se o valor z calculado for maior que 1,645, rejeitamos H₀.
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a fórmula do erro do tipo II para encontrar mu1:
O valor da média verdadeira é aproximadamente 22,77 minutos, de modo que a probabilidade de errar ao concluir que o tempo médio de espera não é superior a 20 minutos é de 10 %.