Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos. Ele deseja testar essa hipótese ao nível de 5 % de significância. Para tal, entrevistou 10 pessoas e questionou quanto tempo elas demoraram para serem atendidas. Os dados obtidos são os que seguem (em minutos):
19 18 22 23 21 19 24 19 25 20
Considere agora que o desvio-padrão da população é igual a 3 min . Para qual valor da média a probabilidade de erroneamente julgar que o tempo médio de espera para atendimento não é superior a 20 minutos é de 10 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um empresário que acha que o tempo médio de espera para atender os clientes é maior que 20 minutos. Ele quer testar essa ideia com um nível de significância de 5%. Para isso, ele entrevistou 10 pessoas e registrou os tempos de espera: 19, 18, 22, 23, 21, 19, 24, 19, 25 e 20 minutos. Agora, sabendo que o desvio-padrão da população é de 3 minutos, ele quer descobrir qual é o valor da média verdadeira que faz com que haja 10% de chance de errar e concluir que o tempo médio não é superior a 20 minutos.
Vamos precisar usar o teste de hipóteses para a média quando o desvio-padrão é conhecido, ou seja, o teste z. Vamos calcular os valores necessários passo a passo para encontrar essa média.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): O tempo médio de espera é igual ou menor que 20 minutos. Matematicamente, H₀: μ ≤ 20.
  • Hipótese alternativa (H₁): O tempo médio de espera é maior que 20 minutos. H₁: μ > 20.
Como queremos saber a média verdadeira que nos dá 10% de chance de errar ao aceitar H₀ quando H₁ é verdadeira, estamos falando do erro do tipo II (β). Queremos encontrar μ tal que β = 0,10.

Passo 3

Vamos usar a fórmula do erro do tipo II para o teste z:
beta = P(X <= zalpha cdot sigmaraizn + mu0 ,|, mu = mu1)
Onde:
  • X é a média amostral.
  • zalpha é o valor crítico z para o nível de significância α.
  • sigma é o desvio-padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.
  • mu0 é a média sob H₀.
  • mu1 é a média verdadeira que queremos encontrar.
Nosso objetivo é encontrar mu1 tal que β = 0,10.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o valor crítico z para o nível de significância de 5% (α = 0,05) em um teste unilateral (como H₁: μ > 20).
Usando a tabela z ou uma calculadora, encontramos que:
zalpha = z0,05 = 1,645
Isso significa que se o valor z calculado for maior que 1,645, rejeitamos H₀.

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a fórmula do erro do tipo II para encontrar mu1:
beta = 0,10 = P(X <= 20 + zalpha cdot sigmaraizn ,|, mu = mu1)
Queremos que essa probabilidade seja 10%, então precisamos encontrar o valor de X correspondente a isso na distribuição normal padrão.

Passo 6

Encontramos o valor z correspondente a β = 0,10. Olhando na tabela z, vemos que:
zbeta = z0,10 = -1,2816
Esse valor negativo porque estamos olhando para a cauda esquerda da distribuição.

Passo 7

Agora, usamos a relação entre as médias:
X - mu1sigma / raizn = zbeta
Queremos que X seja igual ao ponto onde β = 0,10:
20 + zalpha cdot sigmaraizn = mu1 + zbeta cdot sigmaraizn

Passo 8

Vamos isolar mu1:
mu1 = 20 + zalpha cdot sigmaraizn - zbeta cdot sigmaraizn
Factorizando sigmaraizn:
mu1 = 20 + (zalpha - zbeta) cdot sigmaraizn

Passo 9

Substituindo os valores conhecidos:
  • zα = 1,645
  • zβ = -1,2816
  • σ = 3
  • n = 10
mu1 = 20 + (1,645 - (-1,2816)) cdot 3raiz10
Calculando a diferença dos z’s:
1,645 - (-1,2816) = 1,645 + 1,2816 = 2,9266

Passo 10

Agora, calculamos sigmaraizn:
3raiz10 approx 33,1623 approx 0,9487

Passo 11

Multiplicando os valores:
2,9266 times 0,9487 approx 2,773

Passo 12

Finalmente, somamos ao valor de 20:
mu1 = 20 + 2,773 approx 22,773

Resposta

O valor da média verdadeira é aproximadamente 22,77 minutos, de modo que a probabilidade de errar ao concluir que o tempo médio de espera não é superior a 20 minutos é de 10 %.

Exercícios relacionados