Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos. Ele deseja testar essa hipótese ao nível de 5 % de significância. Para tal, entrevistou 10 pessoas e questionou quanto tempo elas demoraram para serem atendidas. Os dados obtidos são os que seguem (em minutos):
19 18 22 23 21 19 24 19 25 20
Com base nas considerações acima, qual a sua conclusão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um empresário que acha que o tempo médio de espera para atendimento dos clientes é maior que 20 minutos. Ele quer testar essa ideia com um nível de significância de 5%. Para isso, ele entrevistou 10 pessoas e anotou os tempos de espera: 19, 18, 22, 23, 21, 19, 24, 19, 25 e 20 minutos. Vamos usar Teste de Hipóteses para a Média para resolver isso. Precisamos calcular a média e o desvio padrão dos dados, formular as hipóteses e ver se há evidências suficientes para confirmar a suspeita do empresário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos tempos de espera. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Média (barx) = 19 + 18 + 22 + 23 + 21 + 19 + 24 + 19 + 25 + 2010 é
Calculando isso:
barx = 21010 = 21 minutos

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão dos dados, que nos mostra o quanto os tempos de espera variam em torno da média. A fórmula para o desvio padrão amostral ( s) é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(19 - 21)^2 &= 4 (18 - 21)^2 &= 9 (22 - 21)^2 &= 1 (23 - 21)^2 &= 4 (21 - 21)^2 &= 0 (19 - 21)^2 &= 4 (24 - 21)^2 &= 9 (19 - 21)^2 &= 4 (25 - 21)^2 &= 16 (20 - 21)^2 &= 1
Somando essas diferenças:
4 + 9 + 1 + 4 + 0 + 4 + 9 + 4 + 16 + 1 = 52
Agora, dividimos por n - 1 = 10 - 1 = 9:
529 approx 5.78
E tiramos a raiz quadrada:
s approx raiz5.78 approx 2.40 minutos

Passo 4

Vamos formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula ( H0): O tempo médio de espera é igual a 20 minutos.
    H0: mu = 20
  • Hipótese Alternativa ( H1): O tempo médio de espera é maior que 20 minutos.
    H1: mu > 20
Como o empresário suspeita que o tempo é maior, nosso teste será unilateral.

Passo 5

Vamos calcular o estatístico de teste usando a fórmula do teste t:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • barx = 21
  • mu0 = 20
  • s = 2.40
  • n = 10
Substituindo os valores:
t = 21 - 202.40raiz10 = 12.403.16 approx 10.76 approx 1.32

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para o nível de significância de 5% e graus de liberdade df = n - 1 = 9. Usando uma tabela de t ou uma calculadora, encontramos que o valor crítico para um teste unilateral com df = 9 e alpha = 0.05 é aproximadamente 1.833.

Passo 7

Vamos comparar o nosso estatístico de teste t approx 1.32 com o valor crítico 1.833:
  • Se t > 1.833, rejeitamos H0.
  • Se t <= 1.833, não rejeitamos H0.
Aqui, 1.32 < 1.833, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos dados e no teste realizado, não há evidências suficientes para concluir que o tempo médio de espera dos clientes é superior a 20 minutos ao nível de 5% de significância.

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