uma amostra de 20 de consumidores de certo produto alimentício relevou média de consumo de
, com desvio padrão de
pessoa. Construa um intervalo de 95% de confiança para inferir sobre o consumo desse produto na população.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de 20 consumidores de um produto alimentício que, em média, consome 350 gramas por pessoa, com um desvio padrão de 90 gramas. O objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para entender melhor como é o consumo desse produto na população geral. Isso envolve conceitos de estatística, especificamente sobre intervalo de confiança e distribuição t de Student, já que estamos lidando com uma amostra pequena.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que provavelmente contém o verdadeiro valor da média na população. No nosso caso, queremos ter 95% de confiança de que esse intervalo contem a média real de consumo do produto na população.
Passo 3
Como estamos trabalhando com uma amostra pequena (n = 20) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média da amostra (350 g)
- $ t_{\alpha/2} $ é o valor crítico da t para o nível de confiança desejado
- $ s $ é o desvio padrão da amostra (90 g)
- $ n $ é o tamanho da amostra (20)
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar o valor crítico $ t_{\alpha/2} $. Para um intervalo de confiança de 95% e graus de liberdade $ df = n - 1 = 19 $, consultamos a tabela t ou usamos uma calculadora estatística. O valor aproximado é 2,093.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é $ \frac{s}{\sqrt{n}} $:
Passo 6
Em seguida, multiplicamos o valor crítico $ t_{\alpha/2} $ pelo erro padrão:
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o consumo do produto na população é de aproximadamente 307,86 g/pessoa a 392,14 g/pessoa.