O nível de escolaridade (em anos) de uma amostra de 6 membros da elite política local foi:
. Construa um intervalo de confiança de
para a média da escolaridade da elite política local.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.
- Pede: construir um intervalo de confiança de
para a média da escolaridade da elite política local. - Dados (peguei do enunciado): a amostra com
observações de anos de escolaridade: - Nível de confiança:
, ou seja, .
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo).
- Como a amostra é pequena (
) e não foi dada a variância populacional, usa-se a distribuição de Student . - A fórmula do intervalo de confiança para a média populacional
é: Onde: -
é a média amostral (estimador pontual da média populacional). -
é o desvio padrão amostral (estimador da desv. padrão populacional). -
é o tamanho da amostra. -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade, tal que a área nas duas caudas somadas é . Para de confiança usamos .
-
- Intuição: o termo
é o erro padrão da média (quanto a média amostral geralmente varia em torno da média populacional). Multiplicando pelo obtemos a margem de erro adequada ao nível de confiança e ao tamanho da amostra.
Passo 3
Cálculo da média amostral
.
- Somar as observações:
- Calcular a média:
Passo 4
Cálculo da variância e do desvio padrão amostral
(passo a passo, sem pular contas).
- Primeiro calculei a soma dos quadrados das observações:
- Usei a identidade
: - Calculei
: - Assim a soma dos quadrados das diferenças é
- A variância amostral (com divisor
) é - O desvio padrão amostral é a raiz:
(Comentário rápido: se preferir, pode calcular as diferenças
, elevar ao quadrado e somar; o procedimento que usei é equivalente e evita arredondamentos intermediários.)
Passo 5
Obter o valor crítico
.
- Aqui
e os graus de liberdade são . - O valor crítico tabelado é
- Interpretação curta: com df
e duas caudas de cada, a área central de fica entre e .
Passo 6
Calcular o erro padrão e a margem de erro.
- Erro padrão da média:
- Calcular
: - Logo
- Margem de erro:
Passo 7
Construir o intervalo de confiança e interpretar.
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Arredondando para duas casas decimais (prática comum em relatórios):
- Interpretação em linguagem amigável: com
de confiança, a média da escolaridade da população (elite política local) está entre aproximadamente e anos. Isso significa que, se repetíssemos amostragens do mesmo tamanho e montássemos muitos intervalos do mesmo tipo, aproximadamente desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional.