O nível de escolaridade (em anos) de uma amostra de 6 membros da elite política local foi: \{15,19,17,14,20,21\}. Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média da escolaridade da elite política local.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pede: construir um intervalo de confiança de 95\% para a média da escolaridade da elite política local.
  • Dados (peguei do enunciado): a amostra com n=6 observações de anos de escolaridade: \{15,\;19,\;17,\;14,\;20,\;21\}.
  • Nível de confiança: 95\%, ou seja, \alpha=0,05.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo).
  • Como a amostra é pequena ( n=6) e não foi dada a variância populacional, usa-se a distribuição de Student t.
  • A fórmula do intervalo de confiança para a média populacional \mu é: \bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.Onde:
    • \bar{x} é a média amostral (estimador pontual da média populacional).
    • s é o desvio padrão amostral (estimador da desv. padrão populacional).
    • n é o tamanho da amostra.
    • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a área nas duas caudas somadas é \alpha. Para 95\% de confiança usamos t_{0,025,\;n-1}.
  • Intuição: o termo \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto a média amostral geralmente varia em torno da média populacional). Multiplicando pelo t obtemos a margem de erro adequada ao nível de confiança e ao tamanho da amostra.

Passo 3

Cálculo da média amostral \bar{x}.
  • Somar as observações: \sum_{i=1}^6 x_i = 15+19+17+14+20+21 = 106.
  • Calcular a média: \bar{x}=\frac{106}{6}=\frac{53}{3}\approx 17,6667.

Passo 4

Cálculo da variância e do desvio padrão amostral s (passo a passo, sem pular contas).
  • Primeiro calculei a soma dos quadrados das observações: \sum_{i=1}^6 x_i^2 = 15^2+19^2+17^2+14^2+20^2+21^2 = 1912.
  • Usei a identidade \displaystyle \sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2: \sum_{i=1}^6 (x_i-\bar{x})^2 = 1912 - 6\left(\frac{53}{3}\right)^2.
  • Calculei 6\bar{x}^2: 6\left(\frac{53}{3}\right)^2 = 6\cdot\frac{2809}{9} = \frac{16854}{9} = 1872,\overline{6}.
  • Assim a soma dos quadrados das diferenças é \sum_{i=1}^6 (x_i-\bar{x})^2 = 1912 - 1872,\overline{6} = 39,\overline{3}.
  • A variância amostral (com divisor n-1) é s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\frac{39,\overline{3}}{5}=7,866666\ldots
  • O desvio padrão amostral é a raiz: s=\sqrt{7,866666\ldots}\approx 2,8047.
(Comentário rápido: se preferir, pode calcular as diferenças x_i-\bar{x}, elevar ao quadrado e somar; o procedimento que usei é equivalente e evita arredondamentos intermediários.)

Passo 5

Obter o valor crítico t_{\alpha/2,\;n-1}.
  • Aqui \alpha=0,05 e os graus de liberdade são n-1=5.
  • O valor crítico tabelado é t_{0,025,\;5}\approx 2,5706.
  • Interpretação curta: com df =5 e duas caudas de 2{,}5\% cada, a área central de 95\% fica entre -2,5706 e +2,5706.

Passo 6

Calcular o erro padrão e a margem de erro.
  • Erro padrão da média: \text{EP}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2,8047}{\sqrt{6}}.
  • Calcular \sqrt{6}: \sqrt{6}\approx 2,4495.
  • Logo \text{EP}\approx\frac{2,8047}{2,4495}\approx 1,1453.
  • Margem de erro: \text{ME}=t_{0,025,5}\cdot\text{EP}\approx 2,5706\cdot 1,1453\approx 2,9439.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança e interpretar.
  • Limite inferior: \bar{x}-\text{ME}\approx 17,6667-2,9439\approx 14,7228.
  • Limite superior: \bar{x}+\text{ME}\approx 17,6667+2,9439\approx 20,6106.
  • Arredondando para duas casas decimais (prática comum em relatórios): \text{IC de }95\%\approx [14,72;\;20,61].
  • Interpretação em linguagem amigável: com 95\% de confiança, a média da escolaridade da população (elite política local) está entre aproximadamente 14,72 e 20,61 anos. Isso significa que, se repetíssemos amostragens do mesmo tamanho e montássemos muitos intervalos do mesmo tipo, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional.

Resposta

\left[14,72;\;20,61\right]

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