Uma pesquisa nacional sobre comportamento eleitoral entrevistou uma amostra de 1800 adultos. Desses, 432 afirmaram ter mudado de candidato após ver propaganda política em rede social. Estabeleça um intervalo de confiança de 99 \% para a proporção de eleitores que mudam de voto após exposição à propaganda digital.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Tamanho da amostra: n=1800.
    • Número de entrevistados que mudaram de candidato: x=432.
  • O que se pede:
    • Estabelecer um intervalo de confiança de 99\% para a proporção verdadeira p de eleitores que mudam de voto após exposição à propaganda digital.

Passo 2

Definição e estimador da proporção amostral.
  • A proporção amostral \hat{p} é o estimador natural para a proporção populacional p. Ela é calculada por
\hat{p}=\frac{x}{n},
onde x é o número de sucessos (aqui, quem mudou de candidato) e n é o tamanho da amostra.
  • Aplicando aos números dados:
\hat{p}=\frac{432}{1800}=0,24.
Isso significa que, na amostra, 24\% dos entrevistados disseram ter mudado de candidato após ver propaganda em rede social.

Passo 3

Condições para usar a aproximação normal e fórmula do erro padrão.
  • Para construir um intervalo de confiança com a aproximação normal (baseado em CLT para proporções), é necessário que tanto n\hat{p} quanto n(1-\hat{p}) sejam razoavelmente grandes (regra prática: maiores que 5 ou 10). Vamos checar:
n\hat{p}=1800\cdot0,24=432\quad\text{e}\quad n(1-\hat{p})=1800\cdot0,76=1368,
ambos bem maiores que 10. Então a aproximação normal é apropriada.
  • O erro padrão (desvio padrão da distribuição amostral de \hat{p}) é dado por
\text{SE}(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Substituindo os valores:
\text{SE}(\hat{p})=\sqrt{\frac{0,24\cdot0,76}{1800}}=\sqrt{\frac{0,1824}{1800}}=\sqrt{0,000101333\ldots}\approx0,0100665.

Passo 4

Determinar o valor crítico para 99\% de confiança.
  • Para um intervalo de confiança de nível 1-\alpha=0,99 usamos o quantil da Normal padrão z_{\alpha/2}, com \alpha/2=0,005. Esse valor crítico é aproximadamente
z_{0,005}\approx2,5758.
(Isto vem da tabela da distribuição normal padrão: a área à direita de z_{0,005} é 0,005.)

Passo 5

Calcular a margem de erro e montar o intervalo.
  • A margem de erro E é
E=z_{0,005}\cdot\text{SE}(\hat{p}).
Substituindo os números:
E\approx2,5758\cdot0,0100665\approx0,02594.
  • O intervalo de confiança simétrico em torno de \hat{p} é
\hat{p}\pm E.
Logo
\text{limite inferior}=0,24-0,02594\approx0,21406,
\text{limite superior}=0,24+0,02594\approx0,26594.

Passo 6

Interpretando e arredondando de forma prática.
  • Em termos percentuais, o intervalo corresponde aproximadamente a 21,4\% até 26,6\%.
  • Para apresentação usual, arredondamos os limites para três casas decimais: 0,214 e 0,266.

Resposta

0,214 \le p \le 0,266

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