Uma amostra de 200 placas de circuito impresso contém 18 unidades defeituosas ou não conformes. Estime a fração de não conformes do processo.
(a) Teste a hipótese de que a verdadeira fração de não conformes nesse processo é o,Io. Use \alpha =0,05. Ache o valor P.
(b) Construa um intervalo de confiança bilateral de 90 \% para a verdadeira fração de não conformes no processo de produção.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=200 placas, das quais X=18 são defeituosas. Vamos usar inferência para proporção:
\bullet Estimar a fração de não conformes por \hat p.
\bullet Testar H_0\colon p=0,10 contra H_1\colon p\neq0,10 ao nível \alpha=0,05 usando aproximação normal.
\bullet Calcular o valor- P.
\bullet Construir o intervalo de confiança bilateral de 90\% para p.

Passo 2

O estimador pontual da fração é
\hat p = \frac{X}{n} = \frac{18}{200} = 0,09.

Passo 3

Para o teste, a estatística z é
z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\displaystyle \frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0,09 - 0,10}{\sqrt{\displaystyle \frac{0,10\cdot0,90}{200}}} = \frac{-0,01}{\sqrt{0,09/200}} = \frac{-0,01}{0,02121} \approx -0,47.
Como o teste é bilateral,
\text{valor-}P = 2\;\Phi(-|z|) = 2\;\Phi(-0,47)\approx 2\cdot0,319 = 0,638.
Como 0,638>0,05, não rejeitamos H_0.

Passo 4

Para o intervalo de confiança bilateral de 90\% usamos
\hat p \pm z_{0,05}\,\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde z_{0,05}=1,645. O erro-padrão é
\sqrt{\frac{0,09\cdot0,91}{200}} = \sqrt{\frac{0,0819}{200}} = 0,02024.
Logo a meia-largura é
1,645\times0,02024\approx0,0333
e o intervalo é
(0,09-0,0333,\;0,09+0,0333) = (0,0567,\;0,1233).

Resposta

Estimativa pontual \hat p=0,09.
(a) z\approx -0,47, valor- P\approx0,638, não rejeitamos H_0 ao nível 5\%.
(b) Intervalo de confiança de 90\% para p: (0,057;\;0,123).

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