Dois processos são usados para a produção de ferragens usadas em uma montagem de asa de avião. De 200 ferragens selecionadas do processo I, IO não correspondem às especificações de força, enquanto em 300 ferragens selecionadas do processo 2,20 são não conformes.
(a) Estime a fração de não conformes de cada processo.
(b) Teste a hipótese de que os dois processos têm frações de não conformes idênticas. Use \alpha= 0,05 .
(c) Construa um intervalo de confiança de 90 \% para a diferença na fração de não conformes dos dois processos.

Passo 1

O enunciado trata de comparar duas proporções de não conformes em amostras de tamanhos n_1=200 (processo I) e n_2=300 (processo II). Vamos usar teoria de proporções amostrais:
– Para estimar cada fração usa-se \hat p = x/n.
– Para testar H_0\colon p_1=p_2 usa-se o teste-z para duas proporções com proporção-pool.
– Para construir intervalo de confiança para a diferença \Delta=p_1-p_2 usamos a aproximação normal com erro padrão combinado.

Passo 2

Para o item (a), calculamos
\hat p_1 = \frac{10}{200} = 0,05,
\hat p_2 = \frac{20}{300} \approx 0,0667.

Passo 3

Para o item (b), sob H_0\colon p_1=p_2 usamos a proporção combinada
\hat p = \frac{10+20}{200+300} = \frac{30}{500} = 0,06.
O erro padrão do estimador \hat p_1-\hat p_2 é
\text{SE}_0 = \sqrt{\hat p\,(1-\hat p)\Bigl(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\Bigr)} = \sqrt{0,06\cdot0,94\Bigl(\frac1{200}+\frac1{300}\Bigr)} \approx 0,0217.
O estatístico z é
z = \frac{\hat p_1 - \hat p_2}{\text{SE}_0} = \frac{0,05 - 0,0667}{0,0217} \approx -0,77.
Como |z|<1,96 (nível \alpha=0,05), não rejeitamos H_0: não há evidência de diferença.

Passo 4

Para o item (c), o erro padrão sem pool é
\text{SE} = \sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}} = \sqrt{\frac{0,05\cdot0,95}{200} + \frac{0,0667\cdot0,9333}{300}} \approx 0,0211.
Para 90\% de confiança, usamos z_{0,05}=1,645, obtendo margem
m = 1,645\times0,0211 \approx 0,0347.
Logo o intervalo para \Delta=\hat p_1-\hat p_2 é
(-0,016667 - 0,0347,\;-0,016667 + 0,0347) \approx (-0,0514,\;0,0180).

Resposta

(a) \hat p_1=0,05, \hat p_2\approx0,0667.
(b) z\approx-0,77, não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05.
(c) Intervalo de 90\% para p_1-p_2: (-0,0514,\;0,0180).

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