4.II. Um novo processo foi desenvolvido para aplicação de fotorresistência a placas de silício de I25 mm usadas na fabricação de circuitos integrados. Dez placas foram testadas e foram observadas as seguintes medidas da espessura (em angstroms \times 1000): 13,3987; 13,3957; 13,3902; 13,4015; І3,400І; І3,3918; І3,3965; І3,3925; І3,3946 е І3,4002.
(a) Teste a hipótese de que a espessura média é 13,4 \times 1000 \AA. Use \alpha=0,05 e suponha uma alternativa bilateral.
(b) Ache um intervalo de confiança bilateral de 99 \% para a espessura média. Suponha que a espessura seja distribuída normalmente.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=10 medições da espessura (em \times1000\AA) e pede:
  1. Testar, a nível de significância \alpha=0,05, a hipótese
H_0:\mu=13{,}4 \quad\text{vs.}\quad H_1:\mu\neq13{,}4,
supondo distribuição normal e alternativa bilateral.
  1. Construir um intervalo de confiança bilateral de 99\% para \mu, também sob normalidade.

Passo 2

Calculemos a média amostral \bar x e o desvio-padrão amostral s. Os dados somam
\sum_{i=1}^{10}x_i=133{,}9618,
logo
\bar x=\frac{133{,}9618}{10}=13{,}39618.
O somatório dos quadrados dos desvios em relação a \bar x é
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2\approx0{,}000137404,
portanto
s^2=\frac{0{,}000137404}{10-1}\approx0{,}000015267,
s=\sqrt{0{,}000015267}\approx0{,}003908.

Passo 3

Para o teste t usamos
t=\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt{n}} =\frac{13{,}39618-13{,}4}{0{,}003908/\sqrt{10}} \approx-3{,}09.
Com 9 graus de liberdade, o valor crítico bilateral é
t_{0{,}975,\,9}\approx2{,}262.
Como \lvert t\rvert=3{,}09>2{,}262, rejeitamos H_0 a 5\%.

Passo 4

O intervalo de confiança de 99\% para \mu é
\bar x\pm t_{0{,}995,\,9}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{0{,}995,\,9}\approx3{,}25. Logo a margem de erro é
3{,}25\cdot\frac{0{,}003908}{\sqrt{10}}\approx0{,}00402,
e o intervalo fica
13{,}39618\pm0{,}00402 \;\Longrightarrow\; (13{,}39216,\;13{,}40020).

Resposta

(a) Rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,05.
(b) O intervalo de confiança de 99\% para \mu é
(13{,}3922,\;13{,}4002).

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