Sabe-se que os diâmetros internos de rolamentos usados no trem de pouso de aviões têm um desvio-padrão de \sigma=0,002 \mathrm{~cm}. Uma amostra aleatória de 15 rolamentos acusa um diâmetro interno médio de 8,2535 \mathrm{~cm}.
(a) Teste a hipótese de que o diâmetro interno médio do rolamento é 8,25 \mathrm{~cm}. Use uma alternativa bilateral e \alpha=0,05.
(b) Ache o valor P para esse teste.
(c) Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 \% para o diâmetro médio do rolamento.

Passo 1

O problema trata de inferência sobre a média de uma população normal com desvio-padrão conhecido ( \sigma=0,002). Temos uma amostra de tamanho n=15 com média amostral \overline{x}=8,2535.
Conteúdo: teste de hipóteses bilateral para a média usando a distribuição normal (teste z) e construção de intervalo de confiança de nível 95\%.

Passo 2

O valor do estatístico z é dado por
z \;=\;\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}
onde \mu_{0}=8,25. Substituindo,
\sigma/\sqrt{n}=\frac{0,002}{\sqrt{15}}\approx0,0005164, \quad \overline{x}-\mu_{0}=8,2535-8,25=0,0035,
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z=\frac{0,0035}{0,0005164}\approx6,78.

Passo 3

Para nível de significância \alpha=0,05 e teste bilateral, os valores críticos são \pm z_{0,025}=\pm1,96. Como
z\approx6,78>1,96,
está na região de rejeição. Concluímos que rejeitamos H_{0}.

Passo 4

O valor- P do teste bilateral é
P=2\bigl[1-\Phi(|z|)\bigr]\approx2\bigl[1-\Phi(6,78)\bigr].
Como 1-\Phi(6,78) é da ordem de 5\times10^{-12},
P\approx1{,}0\times10^{-11},
praticamente zero.

Passo 5

O intervalo de confiança bilateral de 95\% para \mu é
\overline{x}\pm z_{0,025}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =8,2535\pm1,96\cdot0,0005164 =8,2535\pm0,00101.
Portanto
IC_{95\%}=[8,25249,\;8,25451].

Resposta

(a) Rejeita-se H_{0}, pois z\approx6,78 cai fora de [-1,96,1,96].
(b) P\approx1,0\times10^{-11}.
(c) IC_{95\%}=[8,25249,\;8,25451].

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