sabendo que \sigma^{2}=9,0. Se a verdadeira média for 20 , que tamanho de amostra deverá ser usado para garantir que a probabilidade do erro tipo II não seja maior do que 0,10 ? Suponha \alpha=0,05.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos testar
H_0: \mu=15 \quad\text{vs.}\quad H_1: \mu\neq15
com variância conhecida \sigma^2=9, nível de significância \alpha=0,05. Desejamos determinar o menor n tal que, se a verdadeira média for \mu=20, a probabilidade de erro do tipo II seja \beta\le0,10.
Passo 2
Como \sigma é conhecido, usamos o teste-z bilateral. A estatística de teste é
Z \;=\;\frac{\bar X -15}{\sigma/\sqrt n} \;\sim\;N(0,1)\quad\text{sob }H_0,
e rejeitamos H_0 se
\lvert Z\rvert > z_{1-\alpha/2} = z_{0,975}=1,96.
Passo 3
Sob a hipótese verdadeira \mu=20, tem-se
\bar X\sim N\!\bigl(20,\;9/n\bigr).
A probabilidade de não rejeitar H_0 (erro tipo II) é