Suponha que queiramos testar as hipóteses
\begin{aligned} & H_{0}: \mu=15 \\\ & H_{0}: \mu \neq 15 \end{aligned}
sabendo que \sigma^{2}=9,0. Se a verdadeira média for 20 , que tamanho de amostra deverá ser usado para garantir que a probabilidade do erro tipo II não seja maior do que 0,10 ? Suponha \alpha=0,05.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos testar
H_0: \mu=15 \quad\text{vs.}\quad H_1: \mu\neq15
com variância conhecida \sigma^2=9, nível de significância \alpha=0,05. Desejamos determinar o menor n tal que, se a verdadeira média for \mu=20, a probabilidade de erro do tipo II seja \beta\le0,10.

Passo 2

Como \sigma é conhecido, usamos o teste-z bilateral. A estatística de teste é
Z \;=\;\frac{\bar X -15}{\sigma/\sqrt n} \;\sim\;N(0,1)\quad\text{sob }H_0,
e rejeitamos H_0 se
\lvert Z\rvert > z_{1-\alpha/2} = z_{0,975}=1,96.

Passo 3

Sob a hipótese verdadeira \mu=20, tem-se
\bar X\sim N\!\bigl(20,\;9/n\bigr).
A probabilidade de não rejeitar H_0 (erro tipo II) é
\beta =\;P\!\Bigl(\lvert\bar X-15\rvert \le 1,96\;\frac{3}{\sqrt n}\Bigm|\mu=20\Bigr).
Padronizando, escrevemos
\beta =\;P\!\Bigl(-1,96\le \frac{\bar X-15}{3/\sqrt n}\le 1,96\Bigm|\mu=20\Bigr).
Seja
\delta=\frac{20-15}{3/\sqrt n}=\frac{5\sqrt n}{3}.
Então
\beta =\;\Phi\bigl(1,96-\delta\bigr)\;-\;\Phi\bigl(-1,96-\delta\bigr).

Passo 4

Note que, para \delta>1, \Phi(-1,96-\delta) é muito pequeno e pode ser desprezado na prática. Assim aproximamos
\beta \approx \Phi(1,96-\delta).
Queremos \beta\le0,10, ou seja
\Phi(1,96-\delta)\le0,10 \quad\Longrightarrow\quad 1,96-\delta \le z_{0,10}=-1,2816
\delta \ge 1,96 + 1,2816 = 3,2416.
Como \delta = 5\sqrt n/3, isso implica
\frac{5\sqrt n}{3}\ge3,2416 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt n \ge \frac{3\cdot3,2416}{5} \approx 1,945 \quad\Longrightarrow\quad n\ge (1,945)^2 \approx3,78.
O menor n inteiro que satisfaz é n=4.

Passo 5

Verificando para n=4:
\delta = \frac{5\sqrt4}{3} = \frac{10}{3}\approx3,33,
\beta =\Phi(1,96-3,33)\;-\;\Phi(-1,96-3,33) \approx\Phi(-1,37)-\Phi(-5,29) \approx0,084-0 =0,084<0,10,
logo n=4 atende à condição \beta\le0,10.

Resposta

O tamanho de amostra mínimo é n=4.

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