Uma amostra de 25 pacientes apresentou uma média de pressão arterial de 120 mmHg , com desvio padrão amostral de 15 mmHg . Determine o intervalo de confiança de
para a média populacional.
Passo 1
O enunciado pergunta explicitamente: “Determine o intervalo de confiança de
para a média populacional.”
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- tamanho da amostra:
, - média amostral:
mmHg, - desvio padrão amostral:
mmHg, - nível de confiança:
.
Passo 2
Qual a fórmula que usamos aqui? Quando queremos um intervalo de confiança para a média populacional e não conhecemos o desvio padrão populacional (ou seja, só temos
), e a amostra é relativamente pequena (
não muito grande), usamos a distribuição
de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível
para a média é:
Expliquei cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil crítico da distribuição com graus de liberdade, correspondente à cauda acumulada de . Para de confiança, e queremos . -
é o desvio padrão amostral (aqui ). -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra; é o erro padrão da média (standard error).
Por que usamos
e não
? Porque o desvio-padrão populacional não foi dado — temos só
— e para amostras pequenas essa incerteza extra é tratada pela distribuição
, que é um pouco mais “larga” que a normal.
Passo 3
Calcule o erro padrão da média:
Aqui usei que
. O erro padrão diz o quanto, em média, a média amostral varia de amostra para amostra.
Passo 4
Precisamos do valor crítico
(pois
). Consultando uma tabela
ou uma calculadora estatística, obtemos aproximadamente
Se você usar uma tabela com menos casas, verá normalmente
ou
; usar
dá boa precisão.
Passo 5
Calcule a margem de erro (metade da largura do intervalo):
Expliquei a multiplicação:
, que arredondei para duas casas decimais.
Passo 6
Agora construímos o intervalo somando e subtraindo a margem da média:
Portanto o intervalo de confiança de
é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação intuitiva e motivação para a prova: dizer que "o intervalo de confiança de
é
" significa que, se repetíssemos o procedimento de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo da mesma forma para cada amostra, aproximadamente
desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Não é correto dizer que há “95%” de chance de que a média populacional esteja dentro desse intervalo — a média populacional é fixa; o que varia é o intervalo por amostra.
Dica prática para prova: calcule primeiro o erro padrão ( ), depois busque o
crítico para
graus de liberdade e o nível escolhido, multiplique para obter a margem e some/subtraia da média.
Dica prática para prova: calcule primeiro o erro padrão (