Uma amostra de 25 pacientes apresentou uma média de pressão arterial de 120 mmHg , com desvio padrão amostral de 15 mmHg . Determine o intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional.

Passo 1

O enunciado pergunta explicitamente: “Determine o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional.”
Dados fornecidos:
  • tamanho da amostra: n=25,
  • média amostral: \bar{x}=120 mmHg,
  • desvio padrão amostral: s=15 mmHg,
  • nível de confiança: 95\%.

Passo 2

Qual a fórmula que usamos aqui? Quando queremos um intervalo de confiança para a média populacional e não conhecemos o desvio padrão populacional (ou seja, só temos s), e a amostra é relativamente pequena ( n não muito grande), usamos a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média é:
\bar{x} \pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Expliquei cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=120).
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade, correspondente à cauda acumulada de \alpha/2. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e queremos t_{0,975,\,n-1}.
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=15).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra; \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error).
Por que usamos t e não z? Porque o desvio-padrão populacional não foi dado — temos só s — e para amostras pequenas essa incerteza extra é tratada pela distribuição t, que é um pouco mais “larga” que a normal.

Passo 3

Calcule o erro padrão da média:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{25}}=\frac{15}{5}=3\\ \text{mmHg}.
Aqui usei que \sqrt{25}=5. O erro padrão diz o quanto, em média, a média amostral varia de amostra para amostra.

Passo 4

Precisamos do valor crítico t_{0,975,\,24} (pois n-1=24). Consultando uma tabela t ou uma calculadora estatística, obtemos aproximadamente
t_{0,975,\,24}\approx 2,0639\approx 2,064.
Se você usar uma tabela com menos casas, verá normalmente 2,06 ou 2,064; usar 2,064 dá boa precisão.

Passo 5

Calcule a margem de erro (metade da largura do intervalo):
\text{margem}=t_{0,975,\,24}\cdot\text{SE}=2,064\cdot 3=6,192\\ \text{mmHg}\approx 6,19\\ \text{mmHg}.
Expliquei a multiplicação: 2,064\times 3=6,192, que arredondei para duas casas decimais.

Passo 6

Agora construímos o intervalo somando e subtraindo a margem da média:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=120-6,19=113,81\\ \text{mmHg},
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=120+6,19=126,19\\ \text{mmHg}.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é aproximadamente (113,81\\ \text{mmHg},\;126,19\\ \text{mmHg}).

Passo 7

Interpretação intuitiva e motivação para a prova: dizer que "o intervalo de confiança de 95\% é (113,81,\;126,19)" significa que, se repetíssemos o procedimento de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo da mesma forma para cada amostra, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Não é correto dizer que há “95%” de chance de que a média populacional esteja dentro desse intervalo — a média populacional é fixa; o que varia é o intervalo por amostra.
Dica prática para prova: calcule primeiro o erro padrão ( s/\sqrt{n}), depois busque o t crítico para n-1 graus de liberdade e o nível escolhido, multiplique para obter a margem e some/subtraia da média.

Resposta

(113,81\\ \text{mmHg},\;126,19\\ \text{mmHg})

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