Um supermercado mede o tempo que clientes passam no caixa. Em uma amostra de 40 clientes, obteve-se média de 7,2 minutos com desvio padrão amostral de 1,1 minuto. Construa um intervalo de confiança de 99 \% para o tempo médio.

Passo 1

O enunciado pede que construamos um intervalo de confiança de 99\% para o tempo médio que clientes passam no caixa. As informações fornecidas são:
n=40,\quad \bar{x}=7,2\\ \text{minutos},\quad s=1,1\\ \text{minuto},\quad \text{nível de confiança }=99\%.íç

Passo 2

Como a variância/população não é conhecida e temos apenas o desvio padrão amostral s, devemos usar a distribuição t de Student para construir o intervalo de confiança. A fórmula geral do intervalo de confiança para a média quando usamos t é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa pontual do tempo médio);
  • t_{\alpha/2,\,df} é o quantil da distribuição t com nível de cauda \alpha/2 e graus de liberdade df;
  • s é o desvio padrão amostral;
  • n é o tamanho da amostra;
  • df=n-1 são os graus de liberdade;
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (a “incerteza” típica da média amostral).
Vou agora aplicar essa fórmula com os números dados.

Passo 3

Calcular \alpha e o quantil t:
\alpha = 1-0{,}99 = 0{,}01,\qquad \alpha/2 = 0{,}005.
Os graus de liberdade são
df = n-1 = 40-1 = 39.
Procuramos t_{0{,}005,\,39}. Usando tabela de t ou software obtemos (valor padrão de tabela):
t_{0{,}005,\,39}\approx 2{,}708.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média \dfrac{s}{\sqrt{n}}:
\sqrt{n}=\sqrt{40}\approx 6{,}3249,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}1}{6{,}3249}\approx 0{,}1739.
Agora o erro máximo (metade da largura do intervalo) é
E = t_{0{,}005,\,39}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2{,}708\cdot 0{,}1739 \approx 0{,}471.

Passo 5

Calcular as extremidades do intervalo de confiança:
\text{limite inferior}=\bar{x}-E=7{,}2-0{,}471=6{,}729\approx 6{,}73,
\text{limite superior}=\bar{x}+E=7{,}2+0{,}471=7{,}671\approx 7{,}67.
Interpretação prática: com nível de confiança de 99\%, o intervalo [6{,}73;\;7{,}67] minutos é uma estimativa plausível para o tempo médio verdadeiro que os clientes passam no caixa. Ou seja, se repetíssemos esse procedimento muitas vezes, cerca de 99\% desses intervalos conteriam a média populacional verdadeira. Força aí — você já tem o procedimento e as contas para a prova!

Resposta

[6{,}73;\;7{,}67]

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