Uma amostra de 27 elementos produziu uma média igual a 3,2 e desvio padrão de 2,12 . Deseja-se saber se é possível afirmar ao nível de 5% de significância, que: a) a média da população é diferente de 1,5;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma amostra de 27 elementos, com média de 3,2 e desvio padrão de 2,12. A gente quer descobrir, com 5% de certeza, se a média da população é diferente de 1,5. Para isso, vamos usar teste de hipóteses para a média usando a distribuição t de Student, já que o tamanho da amostra é menor que 30 e o desvio padrão da população não é conhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média da população é igual a 1,5. Ou seja, H₀: μ = 1,5
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média da população é diferente de 1,5. Ou seja, H₁: μ ≠ 1,5

Passo 3

Como estamos testando se a média é diferente de 1,5, esse é um teste bicaudal. O nível de significância é de 5%, então cada cauda da distribuição t terá 2,5%.

Passo 4

Vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx é a média amostral (3,2)
  • mu0 é a média hipotética (1,5)
  • s é o desvio padrão amostral (2,12)
  • n é o tamanho da amostra (27)

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
t = 3,2 - 1,52,12 / raiz27 = 1,72,12 / 5,196 approx 1,70,408 approx 4,16

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um teste bicaudal com 26 graus de liberdade (n - 1) e nível de significância de 5%. Consultando uma tabela t de Student ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 2,056.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t (4,16) com o valor crítico (2,056):
  • Se |t| > t_crítico, rejeitamos H₀.
  • Aqui, 4,16 > 2,056.

Resposta

Como o valor calculado de t é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, podemos afirmar, com 5% de significância, que a média da população é diferente de 1,5.

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