Uma amostra de 27 elementos produziu uma média igual a 3,2 e desvio padrão de 2,12 . Deseja-se saber se é possível afirmar ao nível de 5% de significância, que: a) a média da população é diferente de 1,5;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma amostra de 27 elementos, com média de 3,2 e desvio padrão de 2,12. A gente quer descobrir, com 5% de certeza, se a média da população é diferente de 1,5. Para isso, vamos usar teste de hipóteses para a média usando a distribuição t de Student, já que o tamanho da amostra é menor que 30 e o desvio padrão da população não é conhecido.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): A média da população é igual a 1,5. Ou seja, H₀: μ = 1,5
- Hipótese Alternativa (H₁): A média da população é diferente de 1,5. Ou seja, H₁: μ ≠ 1,5
Passo 3
Como estamos testando se a média é diferente de 1,5, esse é um teste bicaudal. O nível de significância é de 5%, então cada cauda da distribuição t terá 2,5%.
Passo 4
Vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
Onde:
-
é a média amostral (3,2) -
é a média hipotética (1,5) -
é o desvio padrão amostral (2,12) -
é o tamanho da amostra (27)
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um teste bicaudal com 26 graus de liberdade (n - 1) e nível de significância de 5%. Consultando uma tabela t de Student ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente 2,056.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de t (4,16) com o valor crítico (2,056):
- Se |t| > t_crítico, rejeitamos H₀.
- Aqui, 4,16 > 2,056.
Resposta
Como o valor calculado de t é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, podemos afirmar, com 5% de significância, que a média da população é diferente de 1,5.