Uma amostra de 27 elementos produziu uma média igual a 3,2 e desvio padrão de 2,12 . Deseja-se saber se é possível afirmar ao nível de 5% de significância, que: b) a variância da população é inferior a 5;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma amostra de 27 elementos com média de 3,2 e desvio padrão de 2,12. O objetivo aqui é descobrir, com 5% de confiança, se a variância da população de onde veio essa amostra é menor que 5. Para resolver isso, vamos usar o teste qui-quadrado, que é ótimo pra testar hipóteses sobre variâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos montar nossas hipóteses. A hipótese nula (H₀) é que a variância da população é igual a 5, ou seja, H₀: σ² = 5. A hipótese alternativa (H₁) é que a variância é menor que 5, então H₁: σ² < 5. Como a gente quer saber se é menor, o teste vai ser unilateral.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o nosso valor de teste usando a fórmula do qui-quadrado:
chi^2 = (n - 1) cdot s^2sigma0^2
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra (27)
  • $ s^2 $ é a variância amostral (que é o desvio padrão ao quadrado, então $ 2,12^2 = 4,4944 $)
  • $ \sigma_0^2 $ é a variância hipotética da população (5)
Vamos calcular:
n

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico do qui-quadrado para o nível de significância de 5% e com $ df = n - 1 = 26 $ graus de liberdade. Esse valor crítico vai determinar o ponto de corte para rejeitarmos ou não a hipótese nula.
Consultando uma tabela de qui-quadrado ou utilizando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico para 26 graus de liberdade e 5% de significância (um teste unilateral à esquerda) é aproximadamente 14,611.

Passo 5

Agora, comparamos o nosso valor de teste calculado (23,3725) com o valor crítico (14,611):
23,3725 > 14,611
Como o valor calculado é maior que o valor crítico, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não, com nível de significância de 5 %, não é possível afirmar que a variância da população é inferior a 5.

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