A cronometragem de certa operação industrial forneceu os seguintes valores para diversos operários, dados em segundos:
lllllllll 113 & 124 & 115 & 107 & 120 & 126 & 114 & 110 & 116
Podemos concluir que o tempo médio necessário para realizar essa operação não deve exceder a 120 segundos, ao nível de 1 % de significância?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos os tempos que alguns operários levaram para fazer uma certa operação industrial, medidos em segundos:
113, 124, 115, 107, 120, 126, 114, 110, 116
A gente quer saber se a média desses tempos não passa de 120 segundos, com um nível de confiança de 99% (que é o que significa um nível de significância de 1%). Para resolver isso, vamos usar teste de hipóteses para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados e calcular a média e o desvio padrão dessa amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
barx = 113 + 124 + 115 + 107 + 120 + 126 + 114 + 110 + 1169 = 11459 approx 127,22 segundos
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que mede o quanto os tempos estão dispersos em relação à média.

Passo 3

Para o desvio padrão, usamos a fórmula:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Calculando cada diferença ao quadrado:
(113 - 127,22)^2 &approx 202,93 (124 - 127,22)^2 &approx 10,37 (115 - 127,22)^2 &approx 148,93 (107 - 127,22)^2 &approx 411,73 (120 - 127,22)^2 &approx 52,13 (126 - 127,22)^2 &approx 1,49 (114 - 127,22)^2 &approx 172,93 (110 - 127,22)^2 &approx 297,93 (116 - 127,22)^2 &approx 126,07
Somando esses valores:
sum (xi - barx)^2 approx 1264,74
Então,
s = raiz1264,748 approx raiz158,09 approx 12,57 segundos

Passo 4

Agora, vamos formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( H0): A média dos tempos é maior ou igual a 120 segundos.
    H0: mu >= 120
  • Hipótese alternativa ( Ha): A média dos tempos é menor que 120 segundos.
    Ha: mu < 120

Passo 5

Com esses dados, vamos usar o teste t porque temos uma amostra pequena ( n < 30) e o desvio padrão da população não é conhecido.
A estatística do teste t é calculada por:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx é a média amostral
  • mu0 é o valor da média sob a hipótese nula (120 segundos)
  • s é o desvio padrão da amostra
  • n é o tamanho da amostra
Substituindo os valores:
t = 127,22 - 12012,57 / raiz9 = 7,224,19 approx 1,72

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico de t para um teste unilateral com nível de significância de 1% e df = n - 1 = 8.
Consultando a tabela t de Student, para alpha = 0,01 e df = 8, o valor crítico é aproximadamente 2,896.

Passo 7

Comparamos nosso t calculado com o valor crítico:
1,72 < 2,896
Como o valor calculado é menor que o crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para concluir que o tempo médio necessário para realizar a operação excede 120 segundos ao nível de 1% de significância.

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