A cronometragem de certa operação industrial forneceu os seguintes valores para diversos operários, dados em segundos:
Podemos concluir que o tempo médio necessário para realizar essa operação não deve exceder a 120 segundos, ao nível de
de significância?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos os tempos que alguns operários levaram para fazer uma certa operação industrial, medidos em segundos:
A gente quer saber se a média desses tempos não passa de 120 segundos, com um nível de confiança de 99% (que é o que significa um nível de significância de 1%). Para resolver isso, vamos usar teste de hipóteses para a média.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados e calcular a média e o desvio padrão dessa amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que mede o quanto os tempos estão dispersos em relação à média.
Passo 3
Para o desvio padrão, usamos a fórmula:
Calculando cada diferença ao quadrado:
Somando esses valores:
Então,
Passo 4
Agora, vamos formular as hipóteses para o teste:
-
Hipótese nula (
): A média dos tempos é maior ou igual a 120 segundos. -
Hipótese alternativa (
): A média dos tempos é menor que 120 segundos.
Passo 5
Com esses dados, vamos usar o teste t porque temos uma amostra pequena (
) e o desvio padrão da população não é conhecido.
A estatística do teste t é calculada por:
Onde:
-
é a média amostral -
é o valor da média sob a hipótese nula (120 segundos) -
é o desvio padrão da amostra -
é o tamanho da amostra
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor crítico de t para um teste unilateral com nível de significância de 1% e
.
Consultando a tabela t de Student, para
e
, o valor crítico é aproximadamente 2,896.
Passo 7
Comparamos nosso t calculado com o valor crítico:
Como o valor calculado é menor que o crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidências suficientes para concluir que o tempo médio necessário para realizar a operação excede 120 segundos ao nível de 1% de significância.