1^ a Questão. Considere um experimento binomial com dois ensaios e p=0,4. (Valor 0,6 pontos)
e) Calcule a probabilidade de pelo menos um sucesso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade binomial juntos! A gente tem um experimento com dois ensaios e a probabilidade de sucesso em cada ensaio é $ p = 0,4 $. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de ter pelo menos um sucesso nesses dois ensaios. Para isso, vamos usar a fórmula da distribuição binomial, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos um sucesso”. Isso quer dizer que podemos ter um sucesso ou dois sucessos nos dois ensaios. Portanto, a probabilidade que estamos procurando é a soma das probabilidades de exatamente um sucesso e de exatamente dois sucessos.

Passo 3

A distribuição binomial é dada pela fórmula:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
  • $ n $ é o número de ensaios (no nosso caso, 2),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados,
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em um único ensaio,
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ k $ sucessos em $ n $ ensaios.

Passo 4

Vamos calcular primeiro a probabilidade de exatamente um sucesso ($ k = 1 $):
k = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente dois sucessos ($ k = 2 $):
k = 2

Passo 6

Somando as probabilidades de um e dois sucessos, temos a probabilidade de pelo menos um sucesso:
P(X >= 1) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,48 + 0,16 = 0,64

Resposta

A probabilidade de ter pelo menos um sucesso em dois ensaios é de 0,64.

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