Em uma amostra de 37 adultos selecionados aleatoriamente de uma cidade, encontrou-se 21 adultos expostos a um certo tipo de vírus da gripe. Encontre o valor-p para testar a afirmação de que a porcentagem de adultos na cidade que foram expostos a esse tipo de vírus é 51 %

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre uma amostra de 37 adultos de uma cidade, onde 21 foram expostos a um certo tipo de vírus da gripe. Queremos testar se a porcentagem de adultos expostos é igual a 51%. Para isso, vamos usar teste de proporção. Precisaremos calcular o valor-p, que nos ajuda a entender a probabilidade de obtermos os dados observados se a nossa hipótese inicial for verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A porcentagem de adultos expostos é 51%, ou seja, .
  • Hipótese Alternativa (H₁): A porcentagem de adultos expostos não é 51%, ou seja, .
Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos verificar se a proporção é diferente de 51%, podendo ser maior ou menor.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra:
p = Número de sucessosTamanho da amostra = 2137 approx 0,5676 ú
Então, a proporção observada é aproximadamente 56,76%.

Passo 4

Para calcular o valor-p, precisamos encontrar o estatístico de teste. Vamos usar a fórmula do z-score para proporções:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • é a proporção observada,
  • é a proporção da hipótese nula (0,51),
  • é o tamanho da amostra (37).

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
z = 0,5676 - 0,51raiz0,51 times 0,4937
Primeiro, calculamos o denominador:
raiz0,51 times 0,4937 = raiz0,249937 approx raiz0,006756 approx 0,0822
Agora, o numerador:
0,5676 - 0,51 = 0,0576
Então,
z = 0,05760,0822 approx 0,700

Passo 6

Com o valor de Valor-p = 2 times 0,2420 = 0,484 , vamos encontrar o valor-p. Como é um teste bilateral, o valor-p será duas vezes a área à direita de na distribuição normal padrão.
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que a probabilidade de é aproximadamente 0,2420.
Então,

Resposta

O valor-p para o teste é aproximadamente 0,484.

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