amostra com 5200 unidades testadas, 416 apresentaram falhas durante os primeiros seis meses de uso.
a) Com base nesses dados amostrais, construa um intervalo de confiança de \mathbf{9 9 \%} para a proporção de sensores que podem apresentar falhas nos primeiros seis meses.
b) A empresa decidiu realizar um novo estudo, agora com nível de confiança de \mathbf{9 7 \%} e margem de erro máxima de \mathbf{1 , 8 \%}. Qual deve ser o tamanho mínimo da nova amostra?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com 5200 unidades testadas, das quais 416 apresentaram falhas nos primeiros seis meses de uso. Pede-se:
a) Construir um intervalo de confiança de 99\% para a proporção verdadeira de sensores que falham nos primeiros seis meses.
b) Determinar o tamanho mínimo da nova amostra, dado nível de confiança 97\% e margem de erro máxima 1{,}8\%.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
n=5200,\quad x=416,\quad \hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{416}{5200},\quad \text{nível de confiança (a)}=99\%,\quad \text{nível de confiança (b)}=97\%,\quad E=1{,}8\%=0{,}018.íçíç

Passo 2

Vamos lembrar o que é um intervalo de confiança para proporção e a fórmula que vamos usar. Um intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a proporção verdadeira p quando a amostra é grande usa a aproximação normal e tem a forma
\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral (estimador pontual de p);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2 (por exemplo, para 99\% de confiança, \alpha=0{,}01 e \alpha/2=0{,}005);
  • \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão (desvio padrão do estimador \hat{p}).
Vou explicar cada peça ao calcular: como encontrar \hat{p}, como achar z_{\alpha/2}, como calcular o erro padrão e finalmente o intervalo.

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p}=\frac{416}{5200}=0{,}08.
Interpretação: na amostra, 8{,}0\% dos sensores falharam nos primeiros seis meses.

Passo 4

Para o intervalo de 99\% precisamos de z_{\alpha/2} com \alpha=0{,}01 e \alpha/2=0{,}005. O quantil correspondente da normal padrão é
z_{0{,}005}\approx 2{,}576.
(Dica: tabelas da normal padrão ou calculadora estatística dão esse valor; é o número que deixa 0{,}5\% de área à direita.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da proporção:
\text{SE}=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}08\cdot(1-0{,}08)}{5200}}=\sqrt{\frac{0{,}08\cdot0{,}92}{5200}}.
Calculemos passo a passo os números dentro da raiz:
0{,}08\cdot0{,}92=0{,}0736,
\frac{0{,}0736}{5200}=0{,}000014153846\ldots
Portanto
\text{SE}=\sqrt{0{,}000014153846\ldots}\approx 0{,}003763.

Passo 6

Calcular a margem de erro para 99\%:
\text{ME}=z_{\alpha/2}\cdot\text{SE}=2{,}576\cdot0{,}003763\approx 0{,}009697.
Em termos percentuais, isso é aproximadamente 0{,}9697\%.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro de \hat{p}:
\hat{p}-\text{ME}=0{,}08-0{,}009697=0{,}070303\ldots
\hat{p}+\text{ME}=0{,}08+0{,}009697=0{,}089697\ldots
Arredondando de maneira adequada (por exemplo, para duas casas decimais percentuais), o intervalo é aproximadamente de 7{,}03\% a 8{,}97\%.
Interpretação prática: com 99\% de confiança podemos afirmar que a proporção verdadeira de sensores que falham nos primeiros seis meses está entre cerca de 7{,}03\% e 8{,}97\%.

Passo 8

Agora a parte (b): como calcular o tamanho mínimo da amostra n para uma margem de erro máxima E e nível de confiança dado. A fórmula (derivada da expressão do intervalo igualando a margem de erro a E) é:
n=\frac{\hat{p}(1-\hat{p})\,z_{\alpha/2}^2}{E^2}.
Aqui:
  • \hat{p} é uma estimativa preliminar para p (se não houver estimativa usa-se 0{,}5 como escolha conservadora);
  • z_{\alpha/2} é o quantil correspondente ao nível de confiança pedido;
  • E é a margem de erro desejada em termos de proporção (por exemplo 1{,}8\% vira 0{,}018).
Vou usar a estimativa \hat{p}=0{,}08 obtida da amostra anterior — isso é padrão quando já há um estudo prévio e reduz o tamanho necessário da nova amostra. Se a empresa quiser ser conservadora e não usar informação prévia, dever-se-ia usar \hat{p}=0{,}5 (vou mostrar esse valor também como comparação).

Passo 9

Para 97\% de confiança, \alpha=0{,}03 e \alpha/2=0{,}015. O quantil da normal padrão correspondente é aproximadamente
z_{0{,}015}\approx 2{,}1701.

Passo 10

Aplicar a fórmula com \hat{p}=0{,}08, z=2{,}1701 e E=0{,}018:
n=\frac{0{,}08\cdot(1-0{,}08)\cdot(2{,}1701)^2}{(0{,}018)^2}.
Calculemos passo a passo:
0{,}08\cdot(1-0{,}08)=0{,}08\cdot0{,}92=0{,}0736.
(2{,}1701)^2\approx 4{,}708\;(\text{aprox.}).
(0{,}018)^2=0{,}000324.
Então
n\approx\frac{0{,}0736\cdot4{,}708}{0{,}000324}.
Multiplicando o numerador:
0{,}0736\cdot4{,}708\approx 0{,}3466\;(\text{aprox.}).
Dividindo:
n\approx\frac{0{,}3466}{0{,}000324}\approx 1070{,}0.

Passo 11

Como tamanho de amostra deve ser um inteiro e devemos garantir que a margem de erro não ultrapasse E, arredondamos para cima:
n_{\min}=1070.
Ou seja, a empresa precisa testar pelo menos 1070 sensores no novo estudo para atingir margem de erro máxima 1{,}8\% com 97\% de confiança, usando a estimativa \hat{p}=0{,}08.
Observação útil (opcional): se a empresa quisesse ser conservadora sem usar \hat{p} prévio, usando \hat{p}=0{,}5 obtém-se
n=\frac{0{,}5\cdot0{,}5\cdot(2{,}1701)^2}{0{,}000324}\approx 3634,
um valor maior; por isso usar a estimativa prévia reduz o custo do estudo.

Resposta

a) Intervalo de confiança de 99\%: 7{,}03\% a 8{,}97\%.
b) Tamanho mínimo da nova amostra: 1070.

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