amostra com 5200 unidades testadas, 416 apresentaram falhas durante os primeiros seis meses de uso.
a) Com base nesses dados amostrais, construa um intervalo de confiança de
para a proporção de sensores que podem apresentar falhas nos primeiros seis meses.
b) A empresa decidiu realizar um novo estudo, agora com nível de confiança de
e margem de erro máxima de
. Qual deve ser o tamanho mínimo da nova amostra?
a) Com base nesses dados amostrais, construa um intervalo de confiança de
b) A empresa decidiu realizar um novo estudo, agora com nível de confiança de
Passo 1
O enunciado dá uma amostra com
unidades testadas, das quais
apresentaram falhas nos primeiros seis meses de uso. Pede-se:
a) Construir um intervalo de confiança de para a proporção verdadeira de sensores que falham nos primeiros seis meses.
b) Determinar o tamanho mínimo da nova amostra, dado nível de confiança e margem de erro máxima
.
a) Construir um intervalo de confiança de
b) Determinar o tamanho mínimo da nova amostra, dado nível de confiança
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Passo 2
Vamos lembrar o que é um intervalo de confiança para proporção e a fórmula que vamos usar. Um intervalo de confiança de nível
para a proporção verdadeira
quando a amostra é grande usa a aproximação normal e tem a forma
onde:
-
é a proporção amostral (estimador pontual de ); -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é (por exemplo, para de confiança, e ); -
é o erro padrão (desvio padrão do estimador ).
Vou explicar cada peça ao calcular: como encontrar
, como achar
, como calcular o erro padrão e finalmente o intervalo.
Passo 3
Calcular a proporção amostral
:
Interpretação: na amostra,
dos sensores falharam nos primeiros seis meses.
Passo 4
Para o intervalo de
precisamos de
com
e
. O quantil correspondente da normal padrão é
(Dica: tabelas da normal padrão ou calculadora estatística dão esse valor; é o número que deixa
de área à direita.)
Passo 5
Calcular o erro padrão da proporção:
Calculemos passo a passo os números dentro da raiz:
Portanto
Passo 6
Calcular a margem de erro para
:
Em termos percentuais, isso é aproximadamente
.
Passo 7
Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro de
:
Arredondando de maneira adequada (por exemplo, para duas casas decimais percentuais), o intervalo é aproximadamente de
a
.
Interpretação prática: com
de confiança podemos afirmar que a proporção verdadeira de sensores que falham nos primeiros seis meses está entre cerca de
e
.
Passo 8
Agora a parte (b): como calcular o tamanho mínimo da amostra
para uma margem de erro máxima
e nível de confiança dado. A fórmula (derivada da expressão do intervalo igualando a margem de erro a
) é:
Aqui:
-
é uma estimativa preliminar para (se não houver estimativa usa-se como escolha conservadora); -
é o quantil correspondente ao nível de confiança pedido; -
é a margem de erro desejada em termos de proporção (por exemplo vira ).
Vou usar a estimativa
obtida da amostra anterior — isso é padrão quando já há um estudo prévio e reduz o tamanho necessário da nova amostra. Se a empresa quiser ser conservadora e não usar informação prévia, dever-se-ia usar
(vou mostrar esse valor também como comparação).
Passo 9
Para
de confiança,
e
. O quantil da normal padrão correspondente é aproximadamente
Passo 10
Aplicar a fórmula com
,
e
:
Calculemos passo a passo:
Então
Multiplicando o numerador:
Dividindo:
Passo 11
Como tamanho de amostra deve ser um inteiro e devemos garantir que a margem de erro não ultrapasse
, arredondamos para cima:
Ou seja, a empresa precisa testar pelo menos
sensores no novo estudo para atingir margem de erro máxima
com
de confiança, usando a estimativa
.
Observação útil (opcional): se a empresa quisesse ser conservadora sem usar
prévio, usando
obtém-se
um valor maior; por isso usar a estimativa prévia reduz o custo do estudo.
Resposta
a) Intervalo de confiança de
:
a
.
b) Tamanho mínimo da nova amostra: .
b) Tamanho mínimo da nova amostra: