Numa pesquisa de mercado 400 pessoas foram entrevistadas sobre determinado produto e 60,0 \% delas preferem a marca A .
a) Construa um intervalo de confiança de 95,0 \% para a proporção de pessoas favoráveis a marca A e interprete;
b) Quantas pessoas deverão ser entrevistadas para estimar p com um erro de 4,0 \% e uma confiança de 95,0 \%.

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos.
  • Foram entrevistadas 400 pessoas.
  • 60{,}0\% delas preferem a marca A. Vou representar isso por \hat{p}=0{,}60.
  • Pergunta (a): construir um intervalo de confiança de 95{,}0\% para a proporção verdadeira p de pessoas que preferem a marca A e interpretar esse intervalo.
  • Pergunta (b): determinar quantas pessoas devem ser entrevistadas para estimar p com erro máximo de 4{,}0\% (ou seja, margem de erro E=0{,}04) e nível de confiança 95{,}0\%.
  • Observação: vou usar as informações dadas (o resultado \hat{p}=0{,}60) para calcular o tamanho de amostra pedido no item (b). Se não houvesse estimativa prévia, poderia usar o valor conservador \;p=0{,}5.

Passo 2

Ideia geral e fórmula do intervalo de confiança para proporção (explicação didática).
  • Quando temos uma amostra grande, a distribuição amostral da proporção amostral \hat{p} é aproximadamente normal com média p e desvio-padrão (erro padrão)
\text{EP}(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}.
  • Como p é desconhecido, na prática substituímos por \hat{p} e usamos
\text{EP}(\hat{p})\approx\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
  • Um intervalo de confiança de nível 1-\alpha (por exemplo, 95\% tem \alpha=0{,}05) é dado por
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot \text{EP}(\hat{p}),
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão (para 95\%, z_{0{,}975}=1{,}96).
  • Intuitivamente: o intervalo centraliza em \hat{p} e tem largura determinada pelo erro padrão multiplicado pelo fator z. O 95\% quer dizer que, se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam o verdadeiro p.

Passo 3

Aplicando as fórmulas para construir o intervalo de confiança (cálculos passo a passo).
  • Valores conhecidos: \hat{p}=0{,}60, n=400, e para 95\% usamos z_{0{,}975}=1{,}96.
  • Calcular o erro padrão aproximado:
\text{EP}(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{0{,}60\cdot(1-0{,}60)}{400}}=\sqrt{\dfrac{0{,}60\cdot0{,}40}{400}}.
  • Primeiro compute o numerador dentro da raiz:
0{,}60\cdot0{,}40=0{,}24.
  • Dividindo por n:
\dfrac{0{,}24}{400}=0{,}0006.
  • Raiz quadrada:
\text{EP}(\hat{p})=\sqrt{0{,}0006}\approx 0{,}024495.
(Explicação curta: a raiz de 6\times10^{-4} é aproximadamente 2{,}4495\times10^{-2}.)

Passo 4

Calcular a margem de erro e os limites do intervalo (continuação dos cálculos).
  • Margem de erro:
\text{ME}=z_{0{,}975}\cdot \text{EP}(\hat{p})=1{,}96\cdot 0{,}024495\approx 0{,}0480.
(Detalhe: 1{,}96\cdot0{,}024495 dá aproximadamente 0{,}04801; para escrever um intervalo é usual arredondar a margem a três casas decimais: 0{,}048.)
  • Limites do intervalo:
\text{limite inferior}=\hat{p}-\text{ME}=0{,}60-0{,}048=0{,}552,
\text{limite superior}=\hat{p}+\text{ME}=0{,}60+0{,}048=0{,}648.

Passo 5

Interpretação do intervalo obtido (linguagem didática, sem jargões formais demais).
  • O intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira p é aproximadamente de 0{,}552 a 0{,}648.
  • Interpretando em palavras simples: com o procedimento utilizado (amostrar 400 pessoas e calcular esse intervalo), estamos 95\% confiantes de que o verdadeiro percentual da população que prefere a marca A está entre 55{,}2\% e 64{,}8\%. Isso não significa que haja 95\% de chance de que esse intervalo específico contenha p (o p é fixo) — significa que o método gera intervalos que, em média, cobrirão o verdadeiro p em 95\% das repetições do experimento.

Passo 6

Passando ao item (b): fórmula para tamanho de amostra para proporção (explicação didática).
  • Queremos que a margem de erro seja no máximo E=0{,}04 com nível de confiança 95\%.
  • A fórmula aproximada (usando aproximação normal) para o tamanho de amostra necessário é
n=\dfrac{z_{1-\alpha/2}^2\;p(1-p)}{E^2}.
  • Aqui p é a melhor estimativa disponível da proporção verdadeira. Se não houver estimativa, usa-se p=0{,}5 para ser conservador (maximiza p(1-p)). Como temos \hat{p}=0{,}60 da amostra já feita, é razoável usar p\approx0{,}60 para calcular n. Lembrete prático: sempre arredondar n para cima para garantir a precisão desejada (porque n deve ser inteiro).

Passo 7

Cálculo do tamanho de amostra usando \hat{p}=0{,}60 (cálculos passo a passo).
  • Valores: z_{0{,}975}=1{,}96, p(1-p)=0{,}60\cdot0{,}40=0{,}24, E=0{,}04, logo E^2=0{,}0016.
  • Numerador:
z_{0{,}975}^2\;p(1-p)=1{,}96^2\cdot 0{,}24=3{,}8416\cdot0{,}24.
  • Multiplicando:
3{,}8416\cdot0{,}24=0{,}921984.
  • Dividindo por E^2:
n=\dfrac{0{,}921984}{0{,}0016}=576{,}24.
  • Arredondando para cima (sempre arredondar para o próximo inteiro para garantir erro máximo E):
n=577.
  • Comentário: se tivéssemos usado o valor conservador p=0{,}5, daria
n=\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}25}{0{,}0016}=\dfrac{0{,}9604}{0{,}0016}=600{,}25\Rightarrow n=601,
ou seja, a estimativa com \hat{p}=0{,}60 pede menos entrevistas ( 577) que a abordagem conservadora ( 601).

Passo 8

Breve recapitulação final e incentivo.
  • Resumindo: construímos o intervalo com passos claros (calcular EP, multiplicar por z e somar/subtrair) e, para o tamanho da amostra, utilizamos a fórmula baseada na margem de erro desejada. Você já consegue aplicar esse procedimento para outras proporções e outros níveis de confiança — basta trocar \hat{p}, n, z ou E conforme o caso. Vai dar certo na prova — respira fundo que estamos chegando lá!

Resposta

Intervalo de 95{,}0\%: 0{,}552 a 0{,}648.
Tamanho de amostra necessário para E=0{,}04 e 95{,}0\% (usando \hat{p}=0{,}60): 577.

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