Numa pesquisa de mercado 400 pessoas foram entrevistadas sobre determinado produto e
delas preferem a marca A .
a) Construa um intervalo de confiança de
para a proporção de pessoas favoráveis a marca A e interprete;
b) Quantas pessoas deverão ser entrevistadas para estimar p com um erro de
e uma confiança de
.
a) Construa um intervalo de confiança de
b) Quantas pessoas deverão ser entrevistadas para estimar p com um erro de
Passo 1
Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos.
- Foram entrevistadas
pessoas. -
delas preferem a marca A. Vou representar isso por . - Pergunta (a): construir um intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira de pessoas que preferem a marca A e interpretar esse intervalo. - Pergunta (b): determinar quantas pessoas devem ser entrevistadas para estimar
com erro máximo de (ou seja, margem de erro ) e nível de confiança . - Observação: vou usar as informações dadas (o resultado
) para calcular o tamanho de amostra pedido no item (b). Se não houvesse estimativa prévia, poderia usar o valor conservador .
Passo 2
Ideia geral e fórmula do intervalo de confiança para proporção (explicação didática).
- Quando temos uma amostra grande, a distribuição amostral da proporção amostral
é aproximadamente normal com média e desvio-padrão (erro padrão)
- Como
é desconhecido, na prática substituímos por e usamos
- Um intervalo de confiança de nível
(por exemplo, tem ) é dado por
onde
é o quantil da distribuição normal padrão (para
,
).
- Intuitivamente: o intervalo centraliza em
e tem largura determinada pelo erro padrão multiplicado pelo fator . O quer dizer que, se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de dos intervalos construídos dessa forma conteriam o verdadeiro .
Passo 3
Aplicando as fórmulas para construir o intervalo de confiança (cálculos passo a passo).
- Valores conhecidos:
, , e para usamos . - Calcular o erro padrão aproximado:
- Primeiro compute o numerador dentro da raiz:
- Dividindo por
:
- Raiz quadrada:
(Explicação curta: a raiz de
é aproximadamente
.)
Passo 4
Calcular a margem de erro e os limites do intervalo (continuação dos cálculos).
- Margem de erro:
(Detalhe:
dá aproximadamente
; para escrever um intervalo é usual arredondar a margem a três casas decimais:
.)
- Limites do intervalo:
Passo 5
Interpretação do intervalo obtido (linguagem didática, sem jargões formais demais).
- O intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira é aproximadamente de a . - Interpretando em palavras simples: com o procedimento utilizado (amostrar 400 pessoas e calcular esse intervalo), estamos
confiantes de que o verdadeiro percentual da população que prefere a marca A está entre e . Isso não significa que haja de chance de que esse intervalo específico contenha (o é fixo) — significa que o método gera intervalos que, em média, cobrirão o verdadeiro em das repetições do experimento.
Passo 6
Passando ao item (b): fórmula para tamanho de amostra para proporção (explicação didática).
- Queremos que a margem de erro seja no máximo
com nível de confiança . - A fórmula aproximada (usando aproximação normal) para o tamanho de amostra necessário é
- Aqui
é a melhor estimativa disponível da proporção verdadeira. Se não houver estimativa, usa-se para ser conservador (maximiza ). Como temos da amostra já feita, é razoável usar para calcular . Lembrete prático: sempre arredondar para cima para garantir a precisão desejada (porque deve ser inteiro).
Passo 7
Cálculo do tamanho de amostra usando
(cálculos passo a passo).
- Valores:
, , , logo . - Numerador:
- Multiplicando:
- Dividindo por
:
- Arredondando para cima (sempre arredondar para o próximo inteiro para garantir erro máximo
):
- Comentário: se tivéssemos usado o valor conservador
, daria
ou seja, a estimativa com
pede menos entrevistas (
) que a abordagem conservadora (
).
Passo 8
Breve recapitulação final e incentivo.
- Resumindo: construímos o intervalo com passos claros (calcular EP, multiplicar por
e somar/subtrair) e, para o tamanho da amostra, utilizamos a fórmula baseada na margem de erro desejada. Você já consegue aplicar esse procedimento para outras proporções e outros níveis de confiança — basta trocar , , ou conforme o caso. Vai dar certo na prova — respira fundo que estamos chegando lá!
Resposta
Intervalo de
:
a
.
Tamanho de amostra necessário para
e
(usando
):
.