Estão sendo estudados 2 processos para conservar alimentos quanto ao tempo de duração (X), em dias. No processo A: X_{A} \sim N\left(\mu_{A} ; 100\right) e no processo B: X_{B} \sim N\left(\mu_{B} ; 125\right). Foram Sorteadas duas amostras independentes, a de A com 16 latas apresentou um tempo médio de duração igual a 50 dias, e a de B com 25 latas apresentou um tempo médio de duração igual a 60 dias. Construa um intervalo de confiança de 95,0 \% para a diferença \mu_{B} - \mu_{A}. Interprete os resultados. Com base nos resultados você acha que existe diferença significativa entre as médias de conservação dos dois processos? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede que você:
  • Construa um intervalo de confiança de 95{,}0\% para a diferença \mu_{B}-\mu_{A}.
  • Interprete o resultado.
  • Diga se existe diferença significativa entre as médias dos dois processos e justifique.
Informações fornecidas (vou listar exatamente como vieram):
  • Para o processo A: X_{A}\sim N\big(\mu_{A};\;100\big). Portanto a variância populacional de A é \sigma_{A}^{2}=100.
  • Para o processo B: X_{B}\sim N\big(\mu_{B};\;125\big). Portanto a variância populacional de B é \sigma_{B}^{2}=125.
  • Amostra de A: tamanho n_{A}=16, média amostral \overline{X}_{A}=50.
  • Amostra de B: tamanho n_{B}=25, média amostral \overline{X}_{B}=60.
  • Nível de confiança: 95{,}0\%.

Passo 2

Por que método vamos usar (explicação didática curta):
  • Como o enunciado dá as variâncias populacionais ( \sigma_{A}^{2} e \sigma_{B}^{2}) e as duas amostras são independentes, o intervalo para a diferença de médias usa a distribuição Normal (valor crítico z).
  • A ideia é: a diferença amostral \overline{X}_{B}-\overline{X}_{A} é uma estimativa de \mu_{B}-\mu_{A}. Essa diferença tem variância conhecida igual a \dfrac{\sigma_{B}^{2}}{n_{B}}+\dfrac{\sigma_{A}^{2}}{n_{A}}. Então construímos o intervalo central com base nisso.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança (explicando cada símbolo):
  • A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \mu_{B}-\mu_{A} é
\big(\overline{X}_{B}-\overline{X}_{A}\big)\pm z_{\,\alpha/2}\cdot \sqrt{\dfrac{\sigma_{B}^{2}}{n_{B}}+\dfrac{\sigma_{A}^{2}}{n_{A}}}.
Onde:
  • \overline{X}_{B}-\overline{X}_{A} é a diferença das médias amostrais (estimador pontual).
  • z_{\,\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a área nas caudas somadas é \alpha (para 95\%, \alpha=0{,}05 e z_{0{,}025} é o valor crítico).
  • \sigma_{B}^{2} e \sigma_{A}^{2} são as variâncias populacionais dadas.
  • n_{B} e n_{A} são os tamanhos das amostras.
  • A quantidade sob a raiz é o erro padrão (desvio padrão da diferença amostral).

Passo 4

Calculando a estimativa pontual (diferença das médias):
\overline{X}_{B}-\overline{X}_{A}=60-50=10.
Isso significa que, na amostra, B teve média 10 dias maior que A.

Passo 5

Calcular o erro padrão (passo a passo):
  • Primeiro as frações:
\dfrac{\sigma_{B}^{2}}{n_{B}}=\dfrac{125}{25}=5,
\dfrac{\sigma_{A}^{2}}{n_{A}}=\dfrac{100}{16}=6{,}25.
  • Somando:
\dfrac{125}{25}+\dfrac{100}{16}=5+6{,}25=11{,}25.
  • Então o erro padrão (desvio padrão da diferença) é
\text{EP}=\sqrt{11{,}25}\approx 3{,}354101966.
(O valor exato é \sqrt{11{,}25}; para contas na prova você pode usar \approx 3{,}354.)

Passo 6

Obter o valor crítico z_{0{,}025}:
  • Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025.
  • O valor crítico da Normal padrão é z_{0{,}025}=1{,}96 (tabela da Normal ou memória).
  • Esse número significa que a área central de probabilidade entre -1{,}96 e +1{,}96 é aproximadamente 95\%.

Passo 7

Calcular a margem de erro e o intervalo:
  • Margem de erro:
E = z_{0{,}025}\cdot \text{EP}=1{,}96\cdot 3{,}354101966\approx 6{,}57203785.
  • Intervalo de confiança:
10 \pm 6{,}57203785.
  • Limites:
\text{limite inferior}=10-6{,}57203785\approx 3{,}42796215\approx 3{,}43,
\text{limite superior}=10+6{,}57203785\approx 16{,}57203785\approx 16{,}57.
  • Assim, com arredondamento para duas casas decimais, o intervalo de confiança de 95\% para \mu_{B}-\mu_{A} é
\big[\,3{,}43;\;16{,}57\,\big].

Passo 8

Interpretação didática do intervalo (o que ele diz, em linguagem simples):
  • O intervalo \big[\,3{,}43;\;16{,}57\,\big] significa que, com 95\% de confiança, a verdadeira diferença média \mu_{B}-\mu_{A} está entre aproximadamente 3{,}43 dias e 16{,}57 dias.
  • Em termos práticos: com os dados e suposições dadas, espera-se que o processo B conserve os alimentos, em média, entre 3{,}43 e 16{,}57 dias a mais do que o processo A.
  • Hipóteses e suposições importantes para essa conclusão: as duas populações são normais (ou as amostras grandes o suficiente), as amostras são independentes e as variâncias populacionais são realmente as fornecidas.

Passo 9

Conclusão sobre significância (resposta objetiva e justificativa):
  • Como o intervalo de confiança não contém 0 (todos os valores do intervalo são positivos), isso indica que, ao nível de significância de 5\%, existe evidência estatística de que \mu_{B} é maior que \mu_{A}.
  • Em palavras: há diferença significativa entre as médias; o processo B apresenta tempo médio de conservação significativamente maior que o processo A, segundo estes dados.

Resposta

Intervalo de confiança de 95\% para \mu_{B}-\mu_{A}: \big[\,3{,}43;\;16{,}57\,\big]
Interpretação: Com 95\% de confiança, o processo B conserva os alimentos entre 3{,}43 e 16{,}57 dias a mais, em média, que o processo A.
Existe diferença significativa? Sim. Justificativa: o intervalo não contém 0, indicando que \mu_{B}>\mu_{A} com nível de significância 5\%.

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