Questão 02(20,0)

O coeficiente de difusão do \mathrm{Cr}^{+3} em \mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{3} é 6,0 \times 10^{-15} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} a 727{ }^{\circ} \mathrm{C} e de 1,0 \times 10^{-9} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} a 1400{ }^{\circ} \mathrm{C}.
R=1,987 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} . \mathrm{k}.
a) Determine os valores de Do e da energia de ativação Qd.
b) Qual a magnitude de D a 1100^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado fornece os coeficientes de difusão de \mathrm{Cr}^{3+} em \mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_3: \displaystyle D_1=6,0\times10^{-15},cm ^2/s a 727^\circC ( T_1=1000 K) e \displaystyle D_2=1,0\times10^{-9},cm ^2/s a 1400^\circC ( T_2=1673 K).
Pede-se em (a) o pré-exponencial D_0 e a energia de ativação Q_d segundo a lei de Arrhenius, e em (b) o valor de D a 1100^\circC ( T_3=1373 K).

Passo 2

A dependência de Arrhenius é
D = D_0 \exp\!\biggl(-\frac{Q_d}{R\,T}\biggr).
Aplicando logaritmo e usando os dois pontos
\ln D_i = \ln D_0 - \frac{Q_d}{R\,T_i},
subtraindo para eliminar \ln D_0 resulta
\ln\!\biggl(\frac{D_2}{D_1}\biggr) = -\frac{Q_d}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad Q_d = R\,\frac{\ln(D_2/D_1)}{\tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2}}.

Passo 3

Calculando \ln(D_2/D_1) e \tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2}:
\ln\!\biggl(\frac{1,0\times10^{-9}}{6,0\times10^{-15}}\biggr) =\ln(1,667\times10^5)\approx12,02, \quad \frac{1}{1000}-\frac{1}{1673}\approx0,0004021\;\mathrm{K^{-1}}.
Logo
Q_d =1,987\;\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{mol}\,\mathrm K} \cdot\frac{12,02}{0,0004021} \approx5,95\times10^4\;\mathrm{cal/mol}.

Passo 4

Para D_0 usamos
\ln D_0 = \ln D_1 + \frac{Q_d}{R\,T_1}.
Como \ln D_1=\ln(6,0\times10^{-15})\approx-32,747 e \displaystyle\frac{Q_d}{R\,T_1}\approx\frac{5,95\times10^4}{1,987\times1000}\approx29,92,
temos
\ln D_0\approx -32,747+29,92=-2,827 \quad\Longrightarrow\quad D_0 = e^{-2,827}\approx5,93\times10^{-2}\;\mathrm{cm^2/s}.

Passo 5

Em T_3=1373 K,
D = D_0 \exp\!\biggl(-\frac{Q_d}{R\,T_3}\biggr).
O expoente é \displaystyle\frac{5,95\times10^4}{1,987\times1373}\approx21,79,
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D(1100^\circ\mathrm C) \approx5,93\times10^{-2}\,e^{-21,79} \approx2,0\times10^{-11}\;\mathrm{cm^2/s}.

Resposta

a) \displaystyle D_0\approx5,93\times10^{-2},cm ^2/s e Q_d\approx5,95\times10^4,cal/mol.
b) \displaystyle D(1100^\circ\mathrm C)\approx2,0\times10^{-11},cm ^2/s.

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