Considere a distribuição normal padrão. Utilize a tabela Z para responder.
Encontre o valor de x_c tal que P(\mathrm{Z}<\mathrm{xc}) seja de aproximadamente 97,5 \%

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • É pedido encontrar x_c tal que \;P(\mathrm{Z}<\mathrm{x_c})\approx 97{,}5\%.
  • Ou seja, queremos \;P(\mathrm{Z}<\mathrm{x_c})=0{,}975.
  • A variável \mathrm{Z} é a normal padrão (ver passo seguinte para detalhes).

Passo 2

Entendendo a distribuição normal padrão e a função de distribuição acumulada:
  • A normal padrão é a variável aleatória \mathrm{Z} com média 0 e desvio padrão 1.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é comumente denotada por \Phi(z) e definida por
\Phi(z)=P(\mathrm{Z}<z).
  • Portanto, a condição pedida pode ser escrita como \Phi(x_c)=0{,}975.
    Explicando em palavras: precisamos achar o ponto x_c na linha do eixo z tal que a área à esquerda desse ponto (sob a curva normal padrão) seja 97{,}5\%.

Passo 3

Como usar a tabela Z (passo a passo prático):
  • A tabela Z que o enunciado pede normalmente dá valores de \Phi(z)=P(\mathrm{Z}<z) para z de forma tabulada.
  • Para probabilidades maiores que 0{,}5 o z correspondente é positivo (simples consequência da simetria da normal). Aqui queremos 0{,}975>0{,}5, logo x_c>0.
  • Procura-se na tabela o valor da probabilidade 0{,}975. A leitura típica da tabela usa duas partes do valor de z: a parte inteira e primeira casa decimal (linha) e a segunda casa decimal (coluna). Por exemplo, um z escrito 1{,}96 corresponde à linha 1{,}9 e à coluna 0{,}06.
  • Peguei o dado na tabela Z: a entrada na interseção da linha 1{,}9 com a coluna 0{,}06 é \Phi(1{,}96)=0{,}9750. Esse valor é exatamente o que queremos (aproximadamente 0{,}975).

Passo 4

Interpretação e verificação:
  • Como \Phi(1{,}96)=0{,}9750, concluímos que x_c deve ser aproximadamente 1{,}96.
  • Observação numérica mais precisa (se alguém usar calculadora inversa): \Phi^{-1}(0{,}975)\approx 1{,}959963\ldots, que arredondado com duas casas decimais é 1{,}96. A tabela Z normalmente fornece o valor arredondado \;1{,}96.

Passo 5

Resumo: pelo uso da tabela Z (buscando a probabilidade 0{,}975 na tabela de \Phi(z)) obtemos a resposta aproximada x_c=1{,}96.

Resposta

\;x_c \approx 1{,}96

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