Uma amostra aleatória de 12 empresas, clientes de um mesmo fornecedor, divulgou os valores abaixo, referentes ao valor (em \mathrm{R} \ 1000,00$ ) que cada uma dessas empresas gastou com manutenção na reposição de seus estoques durante o primeiro semestre de 2009.
5 7 5 6,1 7,5 8,6 7,52 5,5 6,2 6,6 7,9 8,4
Qual a média, mediana e moda?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a média, mediana e moda?”\n
Os dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado) são:
\{5,\;7,\;5,\;6,1,\;7,5,\;8,6,\;7,52,\;5,5,\;6,2,\;6,6,\;7,9,\;8,4\}.
Aqui temos n=12 observações. Neste exercício vamos calcular, passo a passo, a média aritmética, a mediana e a moda desses valores.

Passo 2

Média: definição e fórmula.\n
A média aritmética de uma amostra com n observações x_1,x_2,\dots,x_n é dada por
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \overline{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores da amostra.\n
Agora vou somar todos os valores (faço a soma de forma organizada para errar menos):
\begin{aligned} &5 + 7 = 12,\\\ &12 + 5 = 17,\\\ &17 + 6,1 = 23,1,\\\ &23,1 + 7,5 = 30,6,\\\ &30,6 + 8,6 = 39,2,\\\ &39,2 + 7,52 = 46,72,\\\ &46,72 + 5,5 = 52,22,\\\ &52,22 + 6,2 = 58,42,\\\ &58,42 + 6,6 = 65,02,\\\ &65,02 + 7,9 = 72,92,\\\ &72,92 + 8,4 = 81,32. \end{aligned}
A soma total dos valores é \displaystyle 81,32.

Passo 3

Cálculo da média numérica.\n
Usando a fórmula da média:
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{81,32}{12}.
Agora dividimos: \displaystyle \frac{81,32}{12}=6,776\overline{6} (ou aproximando, \approx 6,7767).\n
Interpretação prática: em unidades do problema (mil reais), a média é cerca de \,6{,}776\overline{6} mil reais, isto é, aproximadamente \mathrm{R}\$6{.}776,67.

Passo 4

Mediana: definição e procedimento.\n
A mediana é o valor que separa a amostra ordenada em duas metades. Para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais (posição n/2 e n/2+1).\n
Primeiro ordenamos os dados em ordem crescente:
\{5,\;5,\;5,5,\;6,1,\;6,2,\;6,6,\;7,\;7,5,\;7,52,\;7,9,\;8,4,\;8,6\}.
(Observe que ordenei os mesmos números da tabela; repare que há duas observações iguais a 5.)\n
Como n=12, os dois valores centrais são o 6^\text{o} e o 7^\text{o} da lista ordenada. O 6^\text{o} é 6,6 e o 7^\text{o} é 7.\n
A mediana é
\text{Mediana}=\frac{6,6+7}{2}=\frac{13,6}{2}=6,8.

Passo 5

Moda: definição e cálculo.\n
Moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência na amostra. Contamos as ocorrências:
\begin{aligned} &5\\ \text{aparece}\\\ 2\\ \text{vezes},\\\ &5,5\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez},\\\ &6,1\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez},\\\ &6,2\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez},\\\ &6,6\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez},\\\ &7\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez},\\\ &7,5\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez},\\\ &7,52\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez},\\\ &7,9\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez},\\\ &8,4\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez},\\\ &8,6\\ \text{aparece}\\\ 1\\ \text{vez}. \end{aligned}
O valor com maior frequência é \,5 (duas ocorrências). Portanto a moda é 5.\n
Comentário final: temos uma amostra com média aproximadamente \,6{,}776\overline{6}, mediana 6,8 e moda 5. Força aí — você já consegue explicar e repetir esses passos na prova!

Resposta

\overline{x}=6,776\overline{6}\n
Mediana =6,8\n
Moda =5

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