Numa pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma cidade, 40 se mostraram favoráveis à pena de morte.
a) Construa um intervalo de
de confiança para a verdadeira proporção dos habitantes daquela cidade favoráveis ä pena de morte.
a) Construa um intervalo de
Passo 1
O enunciado diz que numa amostra de
habitantes,
se mostraram favoráveis à pena de morte. A tarefa é construir um intervalo de confiança de
para a verdadeira proporção
de habitantes favoráveis à pena de morte.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Tamanho da amostra:
. - Número de favoráveis na amostra:
. - Nível de confiança desejado:
.
Passo 2
Escolha do método. Vou usar a aproximação normal (o chamado intervalo de proporção pelo método “Wald”), que é o método básico e normalmente ensinado primeiro. Justificativa: a amostra tem tamanho moderado e as quantidades
e
são suficientemente grandes (veremos isso no próximo passo), o que torna a aproximação pelo teorema central do limite razoável. Esse método usa a fórmula
Aqui explico o que cada símbolo significa:
-
é a proporção amostral (estimador pontual de ). -
é o tamanho da amostra. -
é o nível de significância, igual a nível de confiança; para temos . -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à esquerda é . Ele é o fator crítico que define a largura do intervalo. - A expressão
é o erro padrão (desvio padrão do estimador ).
Passo 3
Calcular a proporção amostral
.
Ou seja, a amostra indica que
são favoráveis.
Passo 4
Verificar se a aproximação normal é plausível (condição prática).
Calcular e
:
Calcular
Ambos são maiores que
, portanto a condição prática para usar a aproximação normal está satisfeita.
Passo 5
Obter o valor crítico
para
de confiança.
O nível de significância é , logo
. O quantil procurado é
. Usando tabela ou calculadora da normal padrão, tem-se
O nível de significância é
(Isto é, a área à esquerda de
é aproximadamente
.)
Passo 6
Calcular o erro padrão (EP) de
:
Passo 7
Calcular a margem de erro (ME):
Passo 8
Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro à proporção amostral:
Passo 9
Arredondando de forma prática (três casas decimais ou uma casa decimal em porcentagem), o intervalo de confiança de
para a proporção verdadeira
é aproximadamente
ou em porcentagem,