Numa pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma cidade, 40 se mostraram favoráveis à pena de morte.
a) Construa um intervalo de 97 \% de confiança para a verdadeira proporção dos habitantes daquela cidade favoráveis ä pena de morte.

Passo 1

O enunciado diz que numa amostra de n=200 habitantes, x=40 se mostraram favoráveis à pena de morte. A tarefa é construir um intervalo de confiança de 97\% para a verdadeira proporção p de habitantes favoráveis à pena de morte.
Informações relevantes fornecidas:
  • Tamanho da amostra: n=200.
  • Número de favoráveis na amostra: x=40.
  • Nível de confiança desejado: 97\%.

Passo 2

Escolha do método. Vou usar a aproximação normal (o chamado intervalo de proporção pelo método “Wald”), que é o método básico e normalmente ensinado primeiro. Justificativa: a amostra tem tamanho moderado e as quantidades n\hat p e n(1-\hat p) são suficientemente grandes (veremos isso no próximo passo), o que torna a aproximação pelo teorema central do limite razoável. Esse método usa a fórmula
\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Aqui explico o que cada símbolo significa:
  • \hat p é a proporção amostral (estimador pontual de p).
  • n é o tamanho da amostra.
  • \alpha é o nível de significância, igual a 1- nível de confiança; para 97\% temos \alpha=0,03.
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à esquerda é 1-\alpha/2. Ele é o fator crítico que define a largura do intervalo.
  • A expressão \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão (desvio padrão do estimador \hat p).

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat p.
\hat p=\frac{x}{n}=\frac{40}{200}=0,20.
Ou seja, a amostra indica que 20\% são favoráveis.

Passo 4

Verificar se a aproximação normal é plausível (condição prática).
Calcular n\hat p e n(1-\hat p):
n\hat p = 200\times0,20 = 40, \qquad n(1-\hat p)=200\times0,80 = 160.
Ambos são maiores que 5, portanto a condição prática para usar a aproximação normal está satisfeita.

Passo 5

Obter o valor crítico z_{1-\alpha/2} para 97\% de confiança.
O nível de significância é \alpha=0,03, logo \alpha/2=0,015. O quantil procurado é z_{1-0,015}=z_{0,985}. Usando tabela ou calculadora da normal padrão, tem-se
z_{0,985}\approx 2,1701.
(Isto é, a área à esquerda de z=2,1701 é aproximadamente 0,985.)

Passo 6

Calcular o erro padrão (EP) de \hat p:
\text{EP}=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=\sqrt{\frac{0,20\cdot0,80}{200}}=\sqrt{\frac{0,16}{200}}=\sqrt{0,0008}=0,028284\ldots

Passo 7

Calcular a margem de erro (ME):
\text{ME}=z_{0,985}\times\text{EP}=2,1701\times0,028284\ldots\approx0,06138.

Passo 8

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro à proporção amostral:
\hat p - \text{ME} = 0,20 - 0,06138\ldots \approx 0,13862\ldots
\hat p + \text{ME} = 0,20 + 0,06138\ldots \approx 0,26138\ldots

Passo 9

Arredondando de forma prática (três casas decimais ou uma casa decimal em porcentagem), o intervalo de confiança de 97\% para a proporção verdadeira p é aproximadamente
[\,0,139;\;0,261\,],
ou em porcentagem,
[\,13,9\%;\;26,1\%\,].

Resposta

[0,139;\;0,261]
13,9\%\\ \text{a}\\\ 26,1\%

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