1. Num rebanho de gado bovino estimamos brucelose através de uma amostra de 200 cabeças, observandose 30 animais doentes. Construa um intervalo de 98 \% de confiança para o número de animais doentes.

Passo 1

O enunciado diz que, numa amostra de n=200 cabeças de gado, foram encontradas x=30 doentes por brucelose. O objetivo é construir um intervalo de confiança de 98\% para o número de animais doentes no rebanho. Como não conhecemos o tamanho total do rebanho, vamos primeiro estimar a proporção p de animais doentes e depois, se for necessário, traduzir esse intervalo em número de cabeças.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat p, que é o estimador pontual de p:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{30}{200} = 0,15.

Passo 3

Pelo Teorema do Limite Central para variáveis binomiais, a distribuição de \hat p é aproximada por uma normal de média p e variância p(1-p)/n. Como não conhecemos p, usamos \hat p para aproximar o erro padrão:
\mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,15\,(1-0,15)}{200}} = \sqrt{\frac{0,1275}{200}} \approx 0,02524.

Passo 4

Para um nível de confiança de 98\% o quantil da normal padrão é
z_{0,99}\approx 2,3263,
pois queremos que P(-z_{0,99}<Z<z_{0,99})=0,98.

Passo 5

Calcular a margem de erro do intervalo de confiança:
E = z_{0,99}\,\mathrm{SE}(\hat p) \approx 2,3263 \times 0,02524 \approx 0,0587.

Passo 6

Montar o intervalo de confiança para a proporção p:
\hat p \pm E = 0,15 \pm 0,0587 \quad\Longrightarrow\quad [\,0,15 - 0,0587,\;0,15 + 0,0587\,] = [\,0,0913,\;0,2087\,].

Passo 7

Se quisermos saber o intervalo para o número de animais doentes numa amostra de 200, multiplicamos pelos 200:
200 \times 0,0913 \approx 18{,}26, \quad 200 \times 0,2087 \approx 41{,}74.
Arredondando para números inteiros, aguardamos entre 18 e 42 animais doentes.

Resposta

O intervalo de confiança de 98\% para o número de animais doentes (em uma amostra de 200) é aproximadamente de 18 a 42 cabeças.

Exercícios relacionados