Discuta a veracidade das seguintes afirmações. Considere, em todos os casos, amostragem aleatória simples.
Quanto maior o coeficiente de confiança, maior é o comprimento do correspondente intervalo.

Passo 1

Beleza, a questão pede para discutir se faz sentido que, quanto maior for o nível de confiança de um intervalo, maior fica o tamanho desse intervalo. Isso é sobre intervalo de confiança (IC) em amostragem aleatória simples. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como é a fórmula do comprimento do IC e como o coeficiente de confiança (que vira um valor de z ou t) entra nessa fórmula.

Passo 2

Primeiro, o que é intervalo de confiança?
Imagina que você tem uma amostra de tamanho n de uma população com desvio-padrão sigma conhecido, e quer estimar a média verdadeira mu. O IC de nível de confiança 1-alpha é dado por
bar x pm z1-alpha/2,sigmaraizn,
Aqui, bar x é a média amostral, e z1-alpha/2 é o quantil da distribuição normal que deixa probabilidade alpha/2 em cada cauda. Esse z1-alpha/2 é o nosso “coeficiente de confiança” em forma de número da normal.

Passo 3

Agora, qual é o comprimento (tamanho) desse intervalo? A gente calcula a diferença entre o limite superior e o inferior:
Comprimento L = l(bar x + z1-alpha/2,tfracsigmaraiznr) ;-;l(bar x - z1-alpha/2,tfracsigmaraiznr) = 2,z1-alpha/2,sigmaraizn,
Repara que L depende de três coisas: o desvio-padrão amostral sigma, o tamanho da amostra n e esse z1-alpha/2 que sobe quando a confiança aumenta.

Passo 4

Quando a gente escolhe um nível de confiança maior, tipo passar de 95% para 99%, o valor de z1-alpha/2 cresce (para 95% é cerca de 1,96 e para 99% é cerca de 2,575). Como L = 2,z1-alpha/2,(sigma/raizn), um z maior faz o comprimento L também aumentar. Intuitivamente, quanto mais “certeza” você quer ter (mais confiança), mais largo fica o “guarda-chuva” do intervalo.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Quanto maior o coeficiente de confiança, maior é o comprimento do intervalo de confiança.

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