Uma amostra aleatória de 36 hastes de reforço é extraída de uma fábrica que produz essas hastes com comprimento médio de 80 cm e desvio padrão de (0,8 cm). Ache a probabilidade de que a média esteja:
a) Entre 79,8 e (80,1 cm)

Passo 1

O enunciado diz que extraímos uma amostra de tamanho n=36 de hastes cuja população tem média \mu=80 cm e desvio padrão \sigma=0,8 cm. Queremos a probabilidade de a média amostral \bar X cair entre 79,8 cm e 80,1 cm. Vamos usar a distribuição normal da média amostral.

Passo 2

Pela teoria do Teorema Central do Limite, \bar X é aproximadamente normal com média \mu_{\bar X}=\mu e desvio padrão
\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,8}{\sqrt{36}}=0,1333.
Isso significa que o desvio padrão da média amostral é 0,1333 cm.

Passo 3

Padronizando os limites, definimos
Z_1=\frac{79,8-80}{0,1333}=-1,5
e
Z_2=\frac{80,1-80}{0,1333}=0,75.

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão, temos
\Phi(0,75)=P(Z\le0,75)=0,7734
\Phi(-1,5)=P(Z\le-1,5)=0,0668
Logo,
P(79,8\le\bar X\le80,1)=\Phi(0,75)-\Phi(-1,5)=0,7734-0,0668=0,7066.

Resposta

A probabilidade pedida é aproximadamente 0,7066 (ou 70{,}66\%).

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