Questão 3(1,5) - Uma engenheira de produção decidiu verificar a eficiência de um novo técnico contratado pela companhia. Ela registra o tempo que ele leva para completar 121 tarefas selecionadas aleatoriamente, e encontra que a média foi de 11 horas, com desvio padrão de 2,5 horas. Ache um intervalo de confiança de 95 \% para o tempo médio que um técnico leva para completar a tarefa.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=121, com média amostral \bar x=11 horas e desvio-padrão amostral s=2,5 horas. Queremos um intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio \mu que o técnico leva para completar a tarefa. O conteúdo aqui é construção de intervalo de confiança para média quando n é grande e \sigma é desconhecido (usamos aproximação pelo z da normal).

Passo 2

Para n>30, podemos usar a fórmula aproximada
\bar x \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;\frac{s}{\sqrt{n}}
onde, para nível de confiança de 95\%, \alpha=0,05 e z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0,975}=1,96.

Passo 3

Calculamos o erro-padrão da média:
\text{erro-padrão} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2,5}{\sqrt{121}} = \frac{2,5}{11} \approx 0,2273.ã

Passo 4

A margem de erro E fica
E = z_{0,975}\times \text{erro-padrão} = 1,96\times 0,2273 \approx 0,4455.ã

Passo 5

O intervalo de confiança de 95\% para \mu é
11 \pm 0,4455 \;\longrightarrow\; [\,11-0,4455 \;,\;11+0,4455\,] \approx [\,10,5545 \;,\;11,4455\,].
Arredondando para duas casas decimais, obtemos
[\,10,55\text{ h}\;,\;11,45\text{ h}\,].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio é aproximadamente
[\,10,55\text{ h}\;,\;11,45\text{ h}\,].

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