Uma amostra aleatória de 36 hastes de reforço é extraída de uma fábrica que produz essas hastes com comprimento médio de 80 cm e desvio padrão de (0,8 cm). Ache a probabilidade de que a média esteja:
b) Menor que 80 cm

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n=36 extraída de uma fábrica cuja produção tem comprimento médio \mu=80,cm e desvio-padrão \sigma=0,8,cm. Pede a probabilidade de a média amostral \bar X ser menor que 80 cm. O conteúdo é distribuição da média amostral e uso da distribuição normal.

Passo 2

Pela teoria, quando a população tem desvio-padrão \sigma conhecido e n é grande n\ge30, a média amostral \bar X é aproximadamente normal com
\mathbb{E}(\bar X)=\mu=80 \quad\text{e}\quad \mathrm{SD}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,8}{\sqrt{36}}=\frac{0,8}{6}\approx0,1333\text{ cm}.

Passo 3

Queremos
P(\bar X < 80).
Padronizando:
Z = \frac{\bar X - 80}{0,8/\sqrt{36}} =\frac{\bar X - 80}{0,1333}.
Então
P(\bar X < 80) = P\!\Bigl(Z < \frac{80-80}{0,1333}\Bigr) = P(Z<0).

Passo 4

Como Z segue a normal padrão simétrica em torno de zero,
P(Z<0)=0,5.

Resposta

0,5

Exercícios relacionados