Questão 5(1,5) - Um processo existente para a fabricação de tinta resulta em lotes diários normalmente distribuídos, com média 800 t e desvio padrão 30 t. É sugerida uma modificação nesse processo, com intenção de aumentar a produção. Suponha que 100 dias dos resultados diários do processo modificado foram coletados aleatoriamente e se obtenha média diária de 810 t . Teste, se a intenção foi alcançada:
a) A 2 \% de significância
b) A 5 \% de significância

Passo 1

O enunciado diz que, no processo modificado, as quantidades diárias são normalmente distribuídas com desvio padrão conhecido \sigma=30 t. Coletamos uma amostra de tamanho n=100 e obtivemos média amostral \bar X=810 t. Queremos testar se, de fato, a média do processo aumentou em relação a \mu_0=800 t, aos níveis de significância de 2 % e 5 %.

Passo 2

Formulamos as hipóteses para teste unilateral à direita (aumentou):
H_0:\mu = 800
H_1:\mu > 800

Passo 3

Como a distribuição é normal com \sigma conhecido, usamos o teste- z. A estatística de teste é
z \;=\;\frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \;=\; \frac{810 - 800}{30/\sqrt{100}} \;=\; \frac{10}{3} \;\approx\;3{,}33.

Passo 4

Para \alpha=0,02, o valor crítico é
z_{1-\alpha} = \Phi^{-1}(0,98)\approx 2{,}05.
Como z=3{,}33>2{,}05, rejeitamos H_0 ao nível de 2 %.

Passo 5

Para \alpha=0,05, o valor crítico é
z_{1-\alpha} = \Phi^{-1}(0,95)\approx 1{,}645.
Como z=3{,}33>1{,}645, rejeitamos H_0 ao nível de 5 %.

Resposta

a) Rejeita H_0 ao nível de 2 %.
b) Rejeita H_0 ao nível de 5 %.

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