Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25 % deles são casas de aluguel. Qual é o intervalo de confiança otimista da proporção de casas de aluguel? Considere gamma=90 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos trata de Estatística, mais exatamente de intervalo de confiança para proporções. A gente tem uma amostra de 400 domicílios e descobriu que 25% deles são casas de aluguel. Queremos descobrir qual é o intervalo de confiança otimista para a proporção real de casas de aluguel na população, com um nível de confiança de 90%. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de intervalo de confiança para proporções e entender como calcular o limite superior desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança otimista. Basicamente, ele nos dá um limite superior para a proporção que estamos estudando, ou seja, a proporção máxima estimada de casas de aluguel na população, com uma certa confiança. Aqui, queremos que essa confiança seja de 90%.

Passo 3

Vamos começar identificando os valores que já temos:
  • Tamanho da amostra ( n): 400 domicílios
  • Proporção amostral ( p): 25% ou 0,25
  • Nível de confiança ( gamma): 90%

Passo 4

Para calcular o intervalo de confiança otimista, usamos a fórmula do limite superior do intervalo de confiança para proporções:
p + z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • p é a proporção amostral
  • z é o valor crítico correspondente ao nível de confiança
  • n é o tamanho da amostra

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de z para um nível de confiança de 90%. Esse valor corresponde ao percentil 95 da distribuição normal (pois é um intervalo unilateral). Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que z approx 1,645.

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
0,25 + 1,645 times raiz0,25 times (1 - 0,25)400

Passo 7

Calculando o termo dentro da raiz:
0,25 times 0,75400 = 0,1875400 = 0,00046875

Passo 8

Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:
raiz0,00046875 approx 0,02165

Passo 9

Multiplicamos esse resultado pelo valor de z:
1,645 times 0,02165 approx 0,0356

Passo 10

Finalmente, somamos esse valor à proporção amostral:
0,25 + 0,0356 = 0,2856

Resposta

O intervalo de confiança otimista para a proporção de casas de aluguel é aproximadamente 28,56%.

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