Qual a probabilidade de que no 25^circ lançamento de um dado:
a) Ocorra a face 4 pela primeira vez?
b) Ocorra a face 4 pela quinta vez?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de um evento específico acontecer quando lançamos um dado várias vezes. A matéria envolvida aqui é probabilidade, mais especificamente probabilidade de eventos em lançamentos sucessivos de um dado. Para resolvermos, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade e usar algumas fórmulas matemáticas para calcular as chances desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na parte a): Qual a probabilidade de que no 25º lançamento de um dado, a face 4 apareça pela primeira vez?
Aqui, a gente está procurando a chance de obter o número 4 pela primeira vez exatamente no 25º lançamento. Isso significa que nos 24 primeiros lançamentos, nunca rolou o 4, e no 25º, rolou o 4.

Passo 3

Para resolver isso, usamos a distribuição geométrica, que calcula a probabilidade de um primeiro sucesso ocorrer no k-ésimo ensaio. A fórmula geral é:
P(k) = (1 - p)^k-1 times p
Onde:
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em um único lançamento.
  • $ k $ é o número de tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 4

No nosso caso:
  • A probabilidade de sucesso (rolar um 4) é $ p = \frac{1}{6} $, já que um dado tem 6 faces e assumimos que é justo.
  • Queremos encontrar a probabilidade no $ k = 25 $ lançamento.
Substituindo na fórmula:
p = 16

Passo 5

Calculando:
1 - 16 = 56
Então:
P(25) = (56)^24 times 16

Passo 6

Agora, vamos para a parte b): Qual a probabilidade de que no 25º lançamento de um dado, a face 4 apareça pela quinta vez?
Aqui, buscamos a chance de obter o quinto 4 exatamente no 25º lançamento. Isso significa que, nos 24 primeiros lançamentos, já rolou quatro 4, e no 25º, rolou o quinto.

Passo 7

Para resolver isso, usamos a distribuição binomial negativa, que calcula a probabilidade de um certo número de sucessos ocorrerem em um número fixo de tentativas, com o último lançamento sendo um sucesso.
A fórmula é:
P(k) = binomk-1r-1 times p^r times (1 - p)^k - r
Onde:
  • $ r $ é o número de sucessos desejados (neste caso, 5).
  • $ k $ é o número total de tentativas (25).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 8

No nosso caso:
  • $ r = 5 $
  • $ k = 25 $
  • $ p = \frac{1}{6} $
Substituindo na fórmula:
r = 5

Passo 9

Calculando o coeficiente binomial:
binom244 = 24!4! times (24-4)! = 10626
Então:
P(25) = 10626 times (16)^5 times (56)^20

Resposta

a) A probabilidade de ocorrer a face 4 pela primeira vez no 25º lançamento é:
P(25) = (56)^24 times 16
b) A probabilidade de ocorrer a face 4 pela quinta vez no 25º lançamento é:
P(25) = 10626 times (16)^5 times (56)^20

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