Qual a probabilidade de que no
lançamento de um dado:
a) Ocorra a face 4 pela primeira vez?
b) Ocorra a face 4 pela quinta vez?
a) Ocorra a face 4 pela primeira vez?
b) Ocorra a face 4 pela quinta vez?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de um evento específico acontecer quando lançamos um dado várias vezes. A matéria envolvida aqui é probabilidade, mais especificamente probabilidade de eventos em lançamentos sucessivos de um dado. Para resolvermos, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade e usar algumas fórmulas matemáticas para calcular as chances desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na parte a): Qual a probabilidade de que no 25º lançamento de um dado, a face 4 apareça pela primeira vez?
Aqui, a gente está procurando a chance de obter o número 4 pela primeira vez exatamente no 25º lançamento. Isso significa que nos 24 primeiros lançamentos, nunca rolou o 4, e no 25º, rolou o 4.
Passo 3
Para resolver isso, usamos a distribuição geométrica, que calcula a probabilidade de um primeiro sucesso ocorrer no k-ésimo ensaio. A fórmula geral é:
Onde:
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em um único lançamento.
- $ k $ é o número de tentativas até o primeiro sucesso.
Passo 4
No nosso caso:
- A probabilidade de sucesso (rolar um 4) é $ p = \frac{1}{6} $, já que um dado tem 6 faces e assumimos que é justo.
- Queremos encontrar a probabilidade no $ k = 25 $ lançamento.
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Calculando:
Então:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b): Qual a probabilidade de que no 25º lançamento de um dado, a face 4 apareça pela quinta vez?
Aqui, buscamos a chance de obter o quinto 4 exatamente no 25º lançamento. Isso significa que, nos 24 primeiros lançamentos, já rolou quatro 4, e no 25º, rolou o quinto.
Passo 7
Para resolver isso, usamos a distribuição binomial negativa, que calcula a probabilidade de um certo número de sucessos ocorrerem em um número fixo de tentativas, com o último lançamento sendo um sucesso.
A fórmula é:
Onde:
- $ r $ é o número de sucessos desejados (neste caso, 5).
- $ k $ é o número total de tentativas (25).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 8
No nosso caso:
- $ r = 5 $
- $ k = 25 $
- $ p = \frac{1}{6} $
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Resposta
a) A probabilidade de ocorrer a face 4 pela primeira vez no 25º lançamento é:
b) A probabilidade de ocorrer a face 4 pela quinta vez no 25º lançamento é: