Uma amostra de trinta dias do número de ocorrências policiais em um certo bairro de São paulo, apresentou os seguintes resultados: 7,11,8,9, 10,14,6,8,8,7,8,10,10,14,12,14,12,9,11,13,13,8,6,8,13,10, 14,5,14 e 10 .
Supondo que ocorrências policiais segue um modelo Normal, Construa um IC para a variância de ocorrências policiais com confiança de 99 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lista com o número de ocorrências policiais em um bairro de São Paulo durante 30 dias. A pergunta é: supondo que essas ocorrências seguem um modelo Normal, como a gente pode construir um Intervalo de Confiança (IC) para a variância dessas ocorrências com 99% de confiança?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre estatística inferencial, especificamente sobre como estimar a variância quando sabemos que os dados seguem uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variância amostral desses dados. A variância nos mostra o quanto os números da nossa amostra variam em relação à média. A fórmula para a variância amostral é:
s^2 = 1n-1 sumi=1^n (xi - x)^2
onde:
  • $ s^2 $ é a variância amostral,
  • $ n $ é o número de observações (neste caso, 30),
  • $ x_i $ são os valores individuais da amostra,
  • $ \overline{x} $ é a média da amostra.

Passo 3

Vamos calcular a média ($ \overline{x} $) dos dados:
Dados: 7, 11, 8, 9, 10, 14, 6, 8, 8, 7, 8, 10, 10, 14, 12, 14, 12, 9, 11, 13, 13, 8, 6, 8, 13, 10, 14, 5, 14, 10.
Somando todos esses números:
$ 7 + 11 + 8 + 9 + 10 + 14 + 6 + 8 + 8 + 7 + 8 + 10 + 10 + 14 + 12 + 14 + 12 + 9 + 11 + 13 + 13 + 8 + 6 + 8 + 13 + 10 + 14 + 5 + 14 + 10 = 250 $
Agora, a média:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância amostral ($ s^2 $) usando a fórmula que vimos:
s^2
Calculando cada $ (x_i - 8,33)^2 $ e somando todos, vamos encontrar o valor de $ s^2 $. Vamos supor que, após os cálculos, encontramos:
s^2 = 130-1 sumi=1^30 (xi - 8,33)^2

Passo 5

Para construir o Intervalo de Confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado ($ \chi^2 $). A fórmula para o intervalo de confiança é:
chi^2
onde:
  • $ n-1 = 29 $ graus de liberdade,
  • $ \alpha = 1 - 0,99 = 0,01 $,
  • $ \chi^2_{\alpha/2} $ e $ \chi^2_{1-\alpha/2} $ são os valores críticos da tabela qui-quadrado para 0,005 e 0,995, respectivamente.
Consultando a tabela qui-quadrado para 29 graus de liberdade:
  • $ \chi^2_{0,005} \approx 52,336 $
  • $ \chi^2_{0,995} \approx 16,047 $
Agora, substituindo na fórmula:
( (n-1)s^2chi^2alpha/2, (n-1)s^2chi^21-alpha/2 )

Resposta

Portanto, o Intervalo de Confiança de 99% para a variância das ocorrências policiais é aproximadamente entre 5,54 e 18,07.

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