Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250 m . Supondo-se a distribuição de Poisson para defeitos, qual a probabilidade que na produção de 1000 m :
a) Não haja defeito?
b) Aconteçam pelo menos 3 defeitos?
c) Em um período de 80 dias de trabalho, a produção diária é de 625 metros. Em quantos dias haverá uma produção sem defeitos?
a) Não haja defeito?
b) Aconteçam pelo menos 3 defeitos?
c) Em um período de 80 dias de trabalho, a produção diária é de 625 metros. Em quantos dias haverá uma produção sem defeitos?
Passo 1
Então, temos um problema sobre defeitos que aparecem em um tecido fabricado. A gente sabe que, em média, aparece um defeito a cada 250 metros de tecido produzido. Queremos usar a distribuição de Poisson para calcular probabilidades relacionadas a esses defeitos em diferentes situações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente. No nosso caso, os “eventos” são os defeitos no tecido.
Passo 3
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos no intervalo considerado.
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
Passo 4
Vamos calcular $ \lambda $ para cada parte do exercício.
a) Para 1000 metros:
A taxa é de 1 defeito a cada 250 metros. Então, para 1000 metros:
A taxa é de 1 defeito a cada 250 metros. Então, para 1000 metros:
Passo 5
b) A mesma taxa de $ \lambda = 4 $ será usada para a parte b), já que também estamos considerando 1000 metros.
Passo 6
c) Aqui, a produção diária é de 625 metros e temos 80 dias. Primeiro, vamos calcular $ \lambda $ para a produção sem defeitos em um dia.
Para 625 metros:
Passo 7
Agora, vamos resolver cada parte do exercício.
a) Probabilidade de não haver defeito em 1000 metros
Usamos a fórmula de Poisson com $ k = 0 $ e $ \lambda = 4 $:
Passo 8
b) Probabilidade de haver pelo menos 3 defeitos em 1000 metros
Queremos $ P(k \geq 3) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ter menos de 3 defeitos:
Calculando cada termo:
- $ P(0; 4) = e^{-4} \approx 0,0183 $
- $ P(1; 4) = \frac{4^1 e^{-4}}{1!} = 4e^{-4} \approx 0,0733 $
- $ P(2; 4) = \frac{4^2 e^{-4}}{2!} = 8e^{-4} \approx 0,1465 $
Somando:
Então:
Passo 9
c) Número de dias com produção sem defeitos em 80 dias
Primeiro, calculamos a probabilidade de ter produção sem defeitos em um dia ($ P(0) $) usando $ \lambda = 2.5 $:
Para encontrar o número esperado de dias sem defeitos em 80 dias, multiplicamos a probabilidade pelo número de dias:
Como não podemos ter uma fração de um dia, arredondamos para 7 dias.
Resposta
a) A probabilidade de não haver defeito em 1000 metros é aproximadamente 0,0183 ou 1,83%.
b) A probabilidade de haver pelo menos 3 defeitos em 1000 metros é aproximadamente 0,7619 ou 76,19%.
c) Em um período de 80 dias de trabalho, haverá em média 7 dias com produção sem defeitos.