A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que numa instalação de:
a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem?
b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem?
a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem?
b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de algumas lâmpadas se queimarem quando ligadas. Especificamente, sabemos que em 400 lâmpadas, 2 se queimam. A gente vai usar conceitos de probabilidade binomial para resolver as duas partes: a) a probabilidade de no mínimo 3 lâmpadas se queimarem em 600, e b) a probabilidade de exatamente 8 se queimarem em 900.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a taxa de queima das lâmpadas. Se 2 de 400 se queimam, a probabilidade de uma lâmpada queimar é $ p = \frac{2}{400} = 0,005 $.
Passo 3
Agora, para a parte a), queremos saber a probabilidade de que pelo menos 3 lâmpadas se queimem em 600. Vamos usar a distribuição binomial, onde:
- $ n = 600 $ (número de lâmpadas)
- $ p = 0,005 $ (probabilidade de uma lâmpada queimar)
- Queremos $ P(X \geq 3) $
Passo 4
A probabilidade de pelo menos 3 é igual a 1 menos a probabilidade de no máximo 2 se queimarem. Então:
Passo 5
Calculamos cada termo usando a fórmula da binomial:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Passo 6
Calculando essas probabilidades e somando:
Subtraímos esse valor de 1 para obter $ P(X \geq 3) $.
Passo 7
Usando uma calculadora ou software estatístico, encontramos que:
Passo 8
Agora, vamos para a parte b). Queremos saber a probabilidade de exatamente 8 lâmpadas se queimarem em 900. Novamente, usamos a distribuição binomial com:
- $ n = 900 $
- $ p = 0,005 $
- Queremos $ P(X = 8) $
Passo 9
Utilizamos a fórmula da distribuição binomial:
Passo 10
Calculando o coeficiente binomial:
Isso representa o número de maneiras de escolher 8 lâmpadas que se queimam dentre 900.
Passo 11
Multiplicamos pelo termo $ p^8 $ e pelo termo $ (1-p)^{892} $:
Passo 12
Usando uma calculadora ou software estatístico, calculamos esse valor. Devido aos números grandes e pequenos, é mais prático usar uma ferramenta computacional.
Passo 13
Após os cálculos, encontramos que:
Resposta
A probabilidade de que, numa instalação de 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem é aproximadamente 10,4%.