A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas, 2 se queimam ao serem ligadas. Qual a probabilidade de que numa instalação de:
a) 600 lâmpadas, no mínimo 3 se queimem?
b) 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de algumas lâmpadas se queimarem quando ligadas. Especificamente, sabemos que em 400 lâmpadas, 2 se queimam. A gente vai usar conceitos de probabilidade binomial para resolver as duas partes: a) a probabilidade de no mínimo 3 lâmpadas se queimarem em 600, e b) a probabilidade de exatamente 8 se queimarem em 900.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a taxa de queima das lâmpadas. Se 2 de 400 se queimam, a probabilidade de uma lâmpada queimar é $ p = \frac{2}{400} = 0,005 $.

Passo 3

Agora, para a parte a), queremos saber a probabilidade de que pelo menos 3 lâmpadas se queimem em 600. Vamos usar a distribuição binomial, onde:
  • $ n = 600 $ (número de lâmpadas)
  • $ p = 0,005 $ (probabilidade de uma lâmpada queimar)
  • Queremos $ P(X \geq 3) $

Passo 4

A probabilidade de pelo menos 3 é igual a 1 menos a probabilidade de no máximo 2 se queimarem. Então:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]

Passo 5

Calculamos cada termo usando a fórmula da binomial:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Para $ k = 0 $:
k = 0
Para $ k = 1 $:
P(0) = binom6000 (0,005)^0 (0,995)^600 = 1 times 1 times (0,995)^600
Para $ k = 2 $:
k = 1

Passo 6

Calculando essas probabilidades e somando:
P(X <= 2) = P(0) + P(1) + P(2)
Subtraímos esse valor de 1 para obter $ P(X \geq 3) $.

Passo 7

Usando uma calculadora ou software estatístico, encontramos que:
P(X >= 3) approx 1 - 0,916 = 0,084

Passo 8

Agora, vamos para a parte b). Queremos saber a probabilidade de exatamente 8 lâmpadas se queimarem em 900. Novamente, usamos a distribuição binomial com:
  • $ n = 900 $
  • $ p = 0,005 $
  • Queremos $ P(X = 8) $

Passo 9

Utilizamos a fórmula da distribuição binomial:
P(8) = binom9008 (0,005)^8 (0,995)^892

Passo 10

Calculando o coeficiente binomial:
binom9008 = 900!8!(900-8)!
Isso representa o número de maneiras de escolher 8 lâmpadas que se queimam dentre 900.

Passo 11

Multiplicamos pelo termo $ p^8 $ e pelo termo $ (1-p)^{892} $:
p^8

Passo 12

Usando uma calculadora ou software estatístico, calculamos esse valor. Devido aos números grandes e pequenos, é mais prático usar uma ferramenta computacional.

Passo 13

Após os cálculos, encontramos que:
P(X = 8) approx 0,104

Resposta

A probabilidade de que, numa instalação de 900 lâmpadas, exatamente 8 se queimem é aproximadamente 10,4%.

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