Uma amostra aleatória de 400 felinos mostra-nos que 25 \% deles são gatos siameses. Se considerarmos \alpha=2 \%, construa um intervalo de confiança para a proporção de gatos siameses.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra aleatória de tamanho n=400 e proporção amostral de gatos siameses \hat p=0,25. Pede-se um intervalo de confiança para a proporção verdadeira p usando nível de significância \alpha=0,02. O conteúdo é intervalo de confiança para proporção via aproximação normal.

Passo 2

Verificamos se a aproximação normal é válida para proporções grandes:
n\hat p = 400 \times 0,25 = 100 \ge 5
n(1-\hat p) = 400 \times 0,75 = 300 \ge 5
Logo, podemos usar a distribuição normal.

Passo 3

O nível de confiança é
1-\alpha = 0,98.
O quantil crítico para cauda de tamanho \alpha/2 = 0,01 em cada extremidade é
z_{1-0,01} = z_{0,99} \approx 2,3263.

Passo 4

Calculamos o erro padrão da proporção amostral:
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,25 \times 0,75}{400}} = \sqrt{0,00046875} \approx 0,02165.

Passo 5

A margem de erro é
E = z_{0,99}\,\sigma_{\hat p} \approx 2,3263 \times 0,02165 \approx 0,05036.

Passo 6

O intervalo de confiança ao nível de 98\% fica
\bigl[\hat p - E,\;\hat p + E\bigr] = \bigl[0,25 - 0,05036,\;0,25 + 0,05036\bigr] \approx [0,1996;\;0,3004].

Resposta

[0,1996;\;0,3004]

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