Suponha que você é um engenheiro responsável pela inspeção de cabos de aço em uma fábrica. Você toma uma amostra aleatória de 12 cabos, e as tensões máximas suportadas por esses cabos são apresentadas na tabela abaixo:
Tensão por cabo (em kN) 57,0 58,0 59,0 60,0 61,0 62,0
\mathrm{~N}^{\circ} de cabos 1 2 2 3 3 1
Determine:
a) A tensão máxima média suportada pelos cabos.
b) O desvio-padrão da amostra.
c) Supondo que a tensão máxima suportada por cabo seja normalmente distribuída, encontre uma estimativa intervalar para a tensão média usando um intervalo com 95 \% de confiança.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=12 cabos cujas tensões máximas x_i aparecem com frequências f_i. O conteúdo envolve estatística descritiva (média e desvio-padrão amostrais) e inferencial (intervalo de confiança para a média de uma normal com variância desconhecida).

Passo 2

Calculemos a média amostral \bar x pela fórmula
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i} f_i x_i.
Aqui \sum f_i x_i = 57\cdot1 + 58\cdot2 + 59\cdot2 + 60\cdot3 + 61\cdot3 + 62\cdot1 = 716. Logo,
\bar x = \frac{716}{12} \approx 59,67\text{ kN}.

Passo 3

Calculemos o desvio-padrão amostral s. Primeiro a variância amostral:
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i} f_i\bigl(x_i - \bar x\bigr)^2.
Computa-se \sum f_i(x_i-\bar x)^2\approx 24{,}67, então
s^2 = \frac{24{,}67}{11} \approx 2{,}24 \qquad\Longrightarrow\qquad s = \sqrt{2{,}24}\approx 1{,}50\text{ kN}.

Passo 4

Para o intervalo de confiança de 95\% para a média, usamos a distribuição t com n-1=11 graus de liberdade. O quantil crítico é t_{0{,}975;11}\approx2{,}201. A margem de erro é
M = t_{0{,}975;11}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =2{,}201\cdot\frac{1{,}50}{\sqrt{12}} \approx0{,}95\text{ kN}.
Logo o intervalo é
\bar x \pm M = 59{,}67 \pm 0{,}95 \quad\Longrightarrow\quad [58{,}72;\,60{,}62]\text{ kN}.

Resposta

a) A tensão média é \bar x\approx59{,}67 kN.
b) O desvio-padrão amostral é s\approx1{,}50 kN.
c) O intervalo de confiança de 95\% para a tensão média é aproximadamente [58{,}72;\,60{,}62] kN.

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