Suponha que o desvio-padrão da resistência à tração de um novo tipo de cabo de fibra de carbono é conhecido e igual a \sigma=120 \mathrm{MPa}, mas a média da resistência à tração é desconhecida. Assume-se que a resistência à tração segue uma distribuição normal. Para uma amostra de n=15 cabos, a média da resistência à tração é \bar{X}=1.450 \mathrm{MPa}.
a) Construa e interprete um intervalo de confiança com 95 \% de confiança para a média da população.
b) Como ficaria o intervalo com 99 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado nos dá que a resistência à tração segue uma distribuição normal com desvio-padrão populacional conhecido \sigma = 120 MPa, mas média \mu desconhecida. Temos uma amostra de tamanho n = 15 com média amostral \bar X = 1450 MPa. Queremos construir intervalos de confiança para \mu usando a fórmula de intervalo de confiança para média com \sigma conhecido.

Passo 2

A fórmula geral do intervalo de confiança de nível de confiança 1-\alpha para \mu é
\bar X \pm z_{1-\frac\alpha2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e z_{1-0,025}=z_{0,975}\approx1,96. Calculamos primeiro o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{120}{\sqrt{15}} \approx30{,}99\text{ MPa}.
O semiamplitude do intervalo é
1{,}96\times30{,}99\approx60{,}74\text{ MPa},
logo o intervalo de 95\% é
1450 \pm 60{,}74 \quad\Longrightarrow\quad [1389{,}26,\;1510{,}74]\text{ MPa}.
Isso significa que temos 95\% de confiança de que a média real \mu da resistência está entre 1389{,}26 MPa e 1510{,}74 MPa.

Passo 3

Para 99\% de confiança, \alpha=0,01 e z_{1-0,005}=z_{0,995}\approx2,576. Mantendo o mesmo erro padrão de 30{,}99 MPa, a semiamplitude fica
2{,}576\times30{,}99\approx79{,}85\text{ MPa},
portanto o intervalo de 99\% é
1450 \pm 79{,}85 \quad\Longrightarrow\quad [1370{,}15,\;1529{,}85]\text{ MPa}.

Resposta

Intervalo de 95\%: [1389{,}26,\;1510{,}74] MPa
Intervalo de 99\%: [1370{,}15,\;1529{,}85] MPa

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