Uma amostra aleatória de 50 capacetes utilizados por motociclistas foi submetida a um teste de impacto, e em 18 destes capacetes foi observado algum dano severo. Obtenha intervalo de confiança para a proporção de capacetes que apresentam danos severos com teste de impacto quando o grau de confiança for:
(18.1) gamma=0,90

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de 50 capacetes de moto que passaram por um teste de impacto. Desses, 18 apresentaram danos severos. A gente vai calcular um intervalo de confiança para a proporção de capacetes que sofrem danos sérios nesse teste, usando um nível de confiança de 90%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a proporção observada na nossa amostra. A proporção ( p = 1850 = 0,36 ) é calculada dividindo o número de capacetes com dano pelo total de capacetes testados.
Isso significa que 36% dos capacetes na amostra apresentaram danos severos.

Passo 3

Agora, vamos determinar o nível de confiança. Como o problema pede um nível de confiança de 90% ( ), precisamos encontrar o valor crítico correspondente a esse nível. O valor crítico é o número de desvios padrão que cobrimos na distribuição normal para alcançar o nível de confiança desejado.
Para um nível de confiança de 90%, o valor crítico é aproximadamente 1,645.

Passo 4

Com a proporção observada ( p pm z times raizp(1 - p)n ), o valor crítico e o tamanho da amostra ( ), podemos usar a fórmula do intervalo de confiança para proporções:
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculamos o erro padrão da proporção:
raizp(1 - p)n = raiz0,36 times (1 - 0,36)50 = raiz0,36 times 0,6450 = raiz0,230450 = raiz0,004608 approx 0,0679

Passo 6

Agora, multiplicamos o valor crítico z times Erro Padrão = 1,645 times 0,0679 approx 0,1117 pelo erro padrão:
ã

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da proporção observada:
p - 0,1117 = 0,36 - 0,1117 = 0,2483
p + 0,1117 = 0,36 + 0,1117 = 0,4717

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a proporção de capacetes que apresentam danos severos no teste de impacto está entre aproximadamente 24,83% e 47,17%.

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