Uma amostra aleatória de 50 capacetes utilizados por motociclistas foi submetida a um teste de impacto, e em 18 destes capacetes foi observado algum dano severo. Obtenha intervalo de confiança para a proporção de capacetes que apresentam danos severos com teste de impacto quando o grau de confiança for:
(18.1)
(18.1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de 50 capacetes de moto que passaram por um teste de impacto. Desses, 18 apresentaram danos severos. A gente vai calcular um intervalo de confiança para a proporção de capacetes que sofrem danos sérios nesse teste, usando um nível de confiança de 90%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança para proporções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a proporção observada na nossa amostra. A proporção (
) é calculada dividindo o número de capacetes com dano pelo total de capacetes testados.
Isso significa que 36% dos capacetes na amostra apresentaram danos severos.
Passo 3
Agora, vamos determinar o nível de confiança. Como o problema pede um nível de confiança de 90% (
), precisamos encontrar o valor crítico
correspondente a esse nível. O valor crítico
é o número de desvios padrão que cobrimos na distribuição normal para alcançar o nível de confiança desejado.
Para um nível de confiança de 90%, o valor crítico
é aproximadamente 1,645.
Passo 4
Com a proporção observada (
), o valor crítico
e o tamanho da amostra (
), podemos usar a fórmula do intervalo de confiança para proporções:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calculamos o erro padrão da proporção:
Passo 6
Agora, multiplicamos o valor crítico
pelo erro padrão:
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da proporção observada:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para a proporção de capacetes que apresentam danos severos no teste de impacto está entre aproximadamente 24,83% e 47,17%.