O tempo gasto (em dias) na preparação para determinada operação policial é uma variável aleatória X. A observação de uma amostra aleatória de 30 operações policiais semelhantes a essa produziu uma média de 16 dias e desvio padrão 4. Acredita-se que operações desse tipo levam no mínimo 15 dias para preparação. A informação da amostra confirma esta crença?
(19.2) Calcule a estatística do teste

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício de estatística que fala sobre o tempo que policiais levam para se preparar para uma operação. A gente sabe que, numa amostra de 30 operações parecidas, a média foi de 16 dias e o desvio padrão foi de 4 dias. A ideia é ver se essa informação confirma a crença de que essas operações levam pelo menos 15 dias para se preparar. Vamos usar conceitos de teste de hipóteses para calcular a estatística do teste e ver o que os dados dizem.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um teste de hipóteses. Basicamente, a gente quer verificar se uma afirmação sobre a média da população é verdadeira com base na nossa amostra. Aqui, a hipótese que a gente quer testar é se o tempo mínimo de preparação é de 15 dias.

Passo 3

Vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): O tempo médio de preparação é igual a 15 dias. Matemáticamente,
  • Hipótese Alternativa (H₁): O tempo médio de preparação é maior que 15 dias. Matemáticamente,

Passo 4

Como a amostra tem tamanho 30, podemos usar o teste t de Student para uma média. A fórmula para a estatística do teste é:
t = barX - mu0s / raizn
Onde:
  • é a média da amostra (16 dias)
  • é a média hipotética (15 dias)
  • é o desvio padrão da amostra (4 dias)
  • é o tamanho da amostra (30)

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
t = 16 - 154 / raiz30
Primeiro, calcula o denominador:
4raiz30 approx 45,477 approx 0,730

Passo 6

Agora, divide o numerador pelo denominador:
t = 10,730 approx 1,37

Resposta

A estatística do teste é aproximadamente 1,37.

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