Uma amostra aleatória de 50 capacetes utilizados por motociclistas foi submetida a um teste de impacto, e em 18 destes capacetes foi observado algum dano severo. Obtenha intervalo de confiança para a proporção de capacetes que apresentam danos severos com teste de impacto quando o grau de confiança for:
(18.2) gamma=0,95

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre estatística onde a gente precisa encontrar um intervalo de confiança para a proporção de capacetes que apresentam danos severos após um teste de impacto. A gente vai usar conceitos de proporção amostral e intervalo de confiança para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral. A proporção amostral é o número de casos favoráveis dividido pelo total da amostra. Aqui, temos 18 capacetes com danos severos em uma amostra de 50.
p = 1850 = 0,36

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor crítico da distribuição normal para um nível de confiança de 95%. Esse valor crítico, geralmente representado por z0,95 = 1,96 , é aproximadamente 1,96 para 95% de confiança.

Passo 4

Em seguida, calculamos o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanta variação esperamos na proporção amostral.
Erro Padrão = raizp(1 - p)n = raiz0,36 times 0,6450 approx raiz0,230450 approx raiz0,004608 approx 0,0679 ã

Passo 5

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico pelo erro padrão.
Mar>=m de Erro = z0,95 times Erro Padrão = 1,96 times 0,0679 approx 0,133 ã

Passo 6

Por fim, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à proporção amostral.
Intervalo de Confiança = p pm Mar>=m de Erro = 0,36 pm 0,133 ç
Isso dá:
0,36 - 0,133 = 0,227
0,36 + 0,133 = 0,493

Resposta

O intervalo de confiança para a proporção de capacetes que apresentam danos severos é de aproximadamente 22,7% a 49,3% com um nível de confiança de 95%.

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