Para testar a hipótese nula H0: theta=0,5 contra H0: theta>0,5, onde theta representa a proporção de pessoas favoráveis a certa proposta governamental, uma amostra aleatória de 100 pessoas foi coletada. Desses entrevistados, 60 afirmaram serem a favor.
(20.3) Qual a decisão? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre testar uma hipótese relacionada à proporção de pessoas que aprovam uma proposta governamental. A hipótese nula ( H0) diz que a proporção theta é 0,5, e a hipótese alternativa ( H1) afirma que theta é maior que 0,5. A gente vai precisar usar conceitos de teste de hipóteses para proporção e aplicar a distribuição normal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral. A amostra tem 100 pessoas, e 60 delas são a favor. Então, a proporção amostral ( p) é:
p = 60100 = 0,6

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão ( SE) ajuda a entender a variabilidade da nossa amostra em relação à proporção hipotética. A fórmula é:
SE = raiztheta0 (1 - theta0)n = raiz0,5 times 0,5100 = raiz0,25100 = raiz0,0025 = 0,05

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor do teste (z). Esse valor nos mostra quantos desvios padrão a nossa proporção amostral está da proporção hipotética. A fórmula é:
z = p - theta0SE = 0,6 - 0,50,05 = 0,10,05 = 2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o nível de significância. Geralmente, usamos alpha = 0,05 (5%). Consultando a tabela z, o valor crítico para um teste unilateral com alpha = 0,05 é aproximadamente 1,645.

Passo 6

Comparamos o valor do teste z com o valor crítico. Se z for maior que 1,645, rejeitamos a hipótese nula.
Aqui, z = 2 é maior que 1,645, então rejeitamos H0.

Resposta

Rejeitamos a hipótese nula H0: theta = 0,5 porque o valor do teste ( z = 2) é maior que o valor crítico de 1,645. Isso indica que há evidências suficientes para concluir que a proporção de pessoas favoráveis à proposta governamental é maior que 50%.

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