Determinar o intervalo de confiança para as pessoas de uma localidade, as quais possuem altura média de 168 cm , com desvio padrão de 20 cm . Supor uma amostra de 272 pessoas e nível de confiança igual a 90 \%. Queremos determinar P\left(\bar{x}-e_{0}<\mu<\bar{x}+e_{0}\right)=0,9.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine um intervalo de confiança para a média verdadeira das alturas \mu da localidade, tal que
P\big(\bar{x}-e_{0}<\mu<\bar{x}+e_{0}\big)=0,9.
Informações fornecidas:
\bar{x}=168\\ \text{cm},
\sigma=20\\ \text{cm},
n=272,
\text{nível de confiança}=90\%.íç
Queremos encontrar o erro máximo e_{0} e o intervalo centrado em \bar{x} que atende a probabilidade solicitada.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
Quando a variância (ou desvio-padrão) da população \sigma é conhecida, o intervalo de confiança para a média populacional \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=168 cm).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=20 cm).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=272).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão tal que P(Z\le z_{\alpha/2})=1-\alpha/2. Ele representa quantos desvios-padrão acima da média central devemos ir para capturar a probabilidade central 1-\alpha.
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (também chamado de standard error), que mede a variabilidade de \bar{x} em torno de \mu.

Passo 3

Encontrar o valor crítico z_{\alpha/2}.
O nível de confiança é 90\%, portanto \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. Precisamos do quantil z_{0,95} tal que
P(Z\le z_{0,95})=0,95,
onde Z é a Normal padrão. Olhando tabela da Normal padrão ou usando calculadora, temos o valor aproximado
z_{0,95}\approx 1,645.
(A notinha: uma precisão maior daria z_{0,95}\approx 1,64485, mas 1,645 é o valor usado comumente e adequado para cálculos manuais.)

Passo 4

Calcular o erro padrão da média \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Primeiro calculemos \sqrt{n}. Notei que 272=16\cdot17, logo
\sqrt{272}=\sqrt{16\cdot17}=4\sqrt{17}.
Como \sqrt{17}\approx 4,123105626, obtemos
\sqrt{272}\approx 4\cdot 4,123105626=16,49242250.
Agora o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{20}{\sqrt{272}}\approx\frac{20}{16,49242250}\approx 1,212678125\\ \text{cm}.
Expliquei cada passo para você poder fazer na prova sem calculadora: fatorizei 272 para simplificar a raiz e depois fiz a divisão.

Passo 5

Calcular o erro máximo e_{0}=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Usando z_{0,95}\approx 1,645 e o erro padrão calculado:
e_{0}=1,645\times 1,212678125\approx 1,994859\\ \text{cm}.
Arredondando com senso prático (duas casas decimais) temos e_{0}\approx 1,99\\ \text{cm}. Se preferir, pode arredondar para 2,00\\ \text{cm}, mas vou manter duas casas decimais para maior precisão.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança centrado em \bar{x}.
O intervalo é
\bar{x}\pm e_{0}=168\\ \text{cm}\pm 1,994859\\ \text{cm}.
Portanto os limites são
\text{limite inferior}=168-1,994859\approx 166,005141\\ \text{cm},
\text{limite superior}=168+1,994859\approx 169,994859\\ \text{cm}.
Arredondando para duas casas decimais:
(166,01\\ \text{cm},\\\ 169,99\\ \text{cm}).

Passo 7

Interpretação curta e incentivo.
Isto significa que, seguindo o procedimento usado (sigma conhecido, nível de confiança 90\%), temos 90\% de confiança de que o verdadeiro valor da média das alturas \mu da localidade está entre aproximadamente 166,01\\ \text{cm} e 169,99\\ \text{cm}. Lembre-se: isso não é probabilidade sobre \mu em si numa visão frequencista estrita — é um intervalo calculado a partir de dados que, em repetidas amostragens, conteria o verdadeiro \mu em 90\% das vezes. Você mandou bem buscando a solução — tá caminhando certo!

Resposta

\displaystyle (166,01\\ \text{cm},\;169,99\\ \text{cm})

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