Determinar o intervalo de confiança para as pessoas de uma localidade, as quais possuem altura média de 168 cm , com desvio padrão de 20 cm . Supor uma amostra de 272 pessoas e nível de confiança igual a
. Queremos determinar
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine um intervalo de confiança para a média verdadeira das alturas
da localidade, tal que
Informações fornecidas:
Queremos encontrar o erro máximo
e o intervalo centrado em
que atende a probabilidade solicitada.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
Quando a variância (ou desvio-padrão) da população é conhecida, o intervalo de confiança para a média populacional
com nível de confiança
é dado por
Quando a variância (ou desvio-padrão) da população
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui cm). -
é o desvio padrão populacional (aqui cm). -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o quantil da distribuição Normal padrão tal que . Ele representa quantos desvios-padrão acima da média central devemos ir para capturar a probabilidade central . -
é o erro padrão da média (também chamado de standard error), que mede a variabilidade de em torno de .
Passo 3
Encontrar o valor crítico
.
O nível de confiança é , portanto
e
. Precisamos do quantil
tal que
O nível de confiança é
onde
é a Normal padrão. Olhando tabela da Normal padrão ou usando calculadora, temos o valor aproximado
(A notinha: uma precisão maior daria
, mas
é o valor usado comumente e adequado para cálculos manuais.)
Passo 4
Calcular o erro padrão da média
.
Primeiro calculemos . Notei que
, logo
Primeiro calculemos
Como
, obtemos
Agora o erro padrão:
Expliquei cada passo para você poder fazer na prova sem calculadora: fatorizei
para simplificar a raiz e depois fiz a divisão.
Passo 5
Calcular o erro máximo
.
Usando e o erro padrão calculado:
Usando
Arredondando com senso prático (duas casas decimais) temos
. Se preferir, pode arredondar para
, mas vou manter duas casas decimais para maior precisão.
Passo 6
Construir o intervalo de confiança centrado em
.
O intervalo é
O intervalo é
Portanto os limites são
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 7
Interpretação curta e incentivo.
Isto significa que, seguindo o procedimento usado (sigma conhecido, nível de confiança ), temos
de confiança de que o verdadeiro valor da média das alturas
da localidade está entre aproximadamente
e
. Lembre-se: isso não é probabilidade sobre
em si numa visão frequencista estrita — é um intervalo calculado a partir de dados que, em repetidas amostragens, conteria o verdadeiro
em
das vezes. Você mandou bem buscando a solução — tá caminhando certo!
Isto significa que, seguindo o procedimento usado (sigma conhecido, nível de confiança