Uma amostra aleatória de n=64 observações é tirada a partir de uma população com média igual a 20 e desvio padrão igual a 16.
a) Dê a média e o desvio padrão da distribuição amostral de \bar{X}.
b) Descreva o formato da distribuição amostral de \bar{X}. Sua resposta depende do tamanho da amostra?
c) Calcule o quantil normal padrão ( z ) correspondente ao valor de \bar{x}=15,5.
Resposta: a) \mu_{\bar{X}}=20 e \sigma_{\bar{X}}=2; c) -2,25.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra aleatória de tamanho n=64 vinda de uma população com média \mu=20 e desvio-padrão \sigma=16. Precisamos:
  1. Calcular a média e o desvio-padrão da distribuição amostral de \bar X.
  2. Descrever o formato dessa distribuição amostral e verificar se isso depende de n.
  3. Encontrar o valor de z correspondente a \bar x=15,5.

Passo 2

Pela teoria da distribuição amostral da média, vale
\mu_{\bar X}=\mu
e
\sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Substituindo \mu=20, \sigma=16 e n=64, temos
\mu_{\bar X}=20
\displaystyle \sigma_{\bar X}=\frac{16}{\sqrt{64}}=\frac{16}{8}=2.

Passo 3

Pelo Teorema Central do Limite, quando n é grande (tipicamente n\ge30), a distribuição amostral de \bar X é aproximadamente normal, mesmo que a população original não seja. Se a população original já for normal, então a distribuição de \bar X é exatamente normal para qualquer n. No nosso caso, com n=64, podemos considerar que
\bar X\sim N\bigl(20,\,2^2\bigr).

Passo 4

O quantil z padrão para \bar x=15,5 é
z=\frac{\bar x-\mu_{\bar X}}{\sigma_{\bar X}} =\frac{15,5-20}{2} =\frac{-4,5}{2} =-2,25.

Resposta

a) \mu_{\bar X}=20 e \sigma_{\bar X}=2.
b) A distribuição amostral de \bar X é (aproximadamente) normal; para amostras grandes ( n\ge30) vale o Teorema Central do Limite e, se a população original é normal, vale exatamente a normalidade.
c) z=-2,25.

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