A taxa de glicemia em pessoas com boa saúde, X, tem distribuição normal com média \mu= 100 \mathrm{mg} / d L e desvio padrão \sigma=10 \mathrm{mg} / d L. Se \bar{X} é a taxa média de glicemia de uma amostra de n elementos retirados dessa população, calcule P(90<\bar{X}<110) para:
n=1

Passo 1

O enunciado nos dá que a variável X que mede a taxa de glicemia é \mathcal{N}(\mu=100,\sigma=10). Desejamos calcular
P\bigl(90<\bar X<110\bigr)
para n=1. O conteúdo necessário é a distribuição amostral da média e a padronização em uma Normal padrão.

Passo 2

Quando n=1, a média amostral \bar X tem a mesma distribuição de X, isto é
\bar X\sim\mathcal{N}\bigl(\mu_{\bar X}=100,\;\sigma_{\bar X}=\tfrac{10}{\sqrt{1}}=10\bigr).

Passo 3

Padronizando a probabilidade temos
P\bigl(90<\bar X<110\bigr) =P\!\Bigl(\frac{90-100}{10}<Z<\frac{110-100}{10}\Bigr) =P(-1<Z<1),
onde Z\sim\mathcal{N}(0,1).

Passo 4

Da tabela da Normal padrão sabemos que
P(-1<Z<1)\approx0,6827.

Resposta

P(90<\bar X<110)\approx0,6827.

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