A taxa de glicemia em pessoas com boa saúde, X, tem distribuição normal com média \mu= 100 \mathrm{mg} / d L e desvio padrão \sigma=10 \mathrm{mg} / d L. Se \bar{X} é a taxa média de glicemia de uma amostra de n elementos retirados dessa população, calcule P(90<\bar{X}<110) para:
n=4

Passo 1

O enunciado diz que a glicemia de cada pessoa é X\sim N(\mu=100,\sigma=10) e que \bar X é a média de uma amostra de tamanho n=4. O que precisamos é da distribuição da média amostral e de calcular
P\bigl(90<\bar X<110\bigr).

Passo 2

Como X é normal, a média amostral \bar X também é normal com
\mathbb{E}[\bar X]=\mu=100, \quad \mathrm{sd}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{4}}=5.

Passo 3

Padronizando, definimos
Z = \frac{\bar X - 100}{5}\sim N(0,1).
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P\bigl(90<\bar X<110\bigr) = P\Bigl(\frac{90-100}{5}<Z<\frac{110-100}{5}\Bigr) = P(-2<Z<2).

Passo 4

Pela simetria da normal padrão e tabela Z:
P(-2<Z<2) = \Phi(2)-\Phi(-2) = \Phi(2)-\bigl[1-\Phi(2)\bigr] =2\,\Phi(2)-1 \approx2\cdot0,9772-1=0,9544.

Resposta

P(90<\bar X<110)\approx0,9544.

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